任意角三角函数的定义之教学感悟

一个“标准”多种教材是课改的特色，所以针对某些内容，不同版本的教材编写处理方式不同，对“任意角三角函数的定义”便是如此，不同版本采用的定义方法不同，相同版本的教材几乎每隔几年也会稍加变动。使用人教版教材时，采用的是“终边定义法”，改用北师大版后，一开始教材中只有“单位圆定义法”，后来又把“终边定义法”加了进去。在这么多年的教学中随着教材的变动，本人从自身的教学实践和切身的感悟出发，来谈谈对这一问题的看法。

一、两种定义方法的对比

1.“终边定义法”是从映射的角度来开展三角函数定义的教学，可以有效培养学生的逻辑思维能力

在具体的教学实践中，“终边定义法”可以很好地帮助学生解决已知一个角的终边上的一点的坐标来求这个角的三角函数值的问题。但是对诱导公式的推导和记忆、三角函数的图象和性质的研究而言不是那么方便。“比值”作为三角函数值，其意义不够清晰，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的函数概念中的“数集到数集”的对应关系不一致，而且“比值”需要通过运算才能得到，任意一个角所对应的比值的唯一性（即与点的选取无关）也需要证明。以往的教学实践表明，许多学生在结束了三角函数的学习后还对三角函数的对应关系不甚了解，与“终边定义法”的这些问题不无关系。

2.“单位圆定义法”给学生理解三角函数带来了一些变化

（1）由于单位圆定义法的直观性，学生可以从定义中看到具体的、直接的自变量和函数值的对应关系，即：任意给定一个角α，其终边与单位圆就有唯一的一个交点，交点的纵坐标定义为α的正弦函数，横坐标定义为α的余弦函数，这给学生理解三角函数对应关系提供了极大的方便。

（2）在单位圆中，可以直接用弧长来度量任意角的大小，有利于学生理解三角函数是“数集到数集的对应”。

（3）在“单位圆定义法”下，作三角函数图像时，可以更直接地使用几何取点作图法。

（4）利用单位圆对称性，并借助单位圆的几何直观效果可以让学生更容易理解和记忆诱导公式。

（5）由于可以直接利用任意角的终边与单位圆交点的坐标讨论三角函数的变化规律，所以学生对三角函数的性质（特别是周期性、单调性、最值、对称性）的理解更方便，记忆也更牢固。

二、两种定义方法的有效结合

“单位圆定义法”与“终边定义法”本质上是一致的。正因为如此，教改以来，教科书在这个知识点上改来改去，最终两种定义方法都采用。对于老师们熟悉的“终边定义法”，北师大2014年7月第8版15页例1中给出了更加直观、方便学生理解的推导思路。可让学生进一步理解：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。比值不会随着点P在角的终边上的位置的改变而改变，即对于确定的角a，三个比值都是唯一确定的。而这也恰恰说明了“以角a的终边与单位圆的交点坐标为‘比值’”是不失一般性的。而用“单位圆定义法”直截了当、简洁易懂，不需推导，就更突显其好处了。

因此，在教学中我们既要重视单位圆的直观性，又不忽视比值定义的意义；既注重函数图象在研究函数性质中的作用，同时又不能忽视利用单位圆的直观性来研究三角函数的性质及在解题中的应用。故在教学中教师要有效地利用好两种定义法。

三、“单位圆定义法”可为我们提供解决问题的新思路

从这个解答过程可以看到，在掌握单位圆定义法后，不仅能够顺利地使用角与三角函数的对应，而且能在单位圆的载体下建立起平面几何、三角函数、解析几何的内在联系，这对学生打开解题的思路有很大的帮助。

通过以上分析，可以看出三角函数的两种定义方法有着各自的优点。在教学中我们应结合学生的认知规律引导学生有效地掌握两种定义法，并不断总结改进，提高我们驾驭课堂、驾驭教材的能力。

（作者单位：安徽省阜阳市阜南县阜南二中）