浅谈任意角的三角函数的定义

1.角的有关概念

（1）从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角。

（2）从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角。

（3）若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β=2kπ+α，kZ。

2.弧度与角度的互化

我们现在学习的是任意角，如何判断角度以及对应三角函数的符号，我们引入了单位圆。

1.任意角的三角函数

（1）定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sinα=y，cosα=x，tanα=（x≠0）。

（2） 几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）。如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线。

1.角可以任意大，不受周角限制 2.角有正负之分，由旋转方向决定 3.还有零角， 一条射线，没有旋转。要点阐释 任意角的三要素：题型一 ：钟表走了两个半小时，，分针所转的角度是多少？角的符号主要由旋转方向决定角。题型二： 比较下面三个角的大小 根据角的符号判断规律。误区解密：下列四个命题中，正确的是（ ） A.第一象限的角必是锐角。（学生这方面犯错比较多，初中主要学的是锐角，特别是特殊角。） B.锐角必是第一象限的角。C.终边相同的角必相等。（从横轴正方向开始，逆时针方向旋转的角是正角，多转一圈多360°。） D.第二象限的角必大于第一象限的角。错解：D 错误分析：在象限角中，做题的时候往往容易忽略 任意角的存在。正解：B。锐角必是第一象限的角 纠错心得： 对于任意角的概念理解非常重要，尤其是角的旋转方向。初中对于角的认识只限于0 ° ――360°，在刚接触任意角时容易忽略任意角的方向，任意角的旋转方向是有始边到终边决定的。注意： 任意角是有方向的，角的正负由旋转方向决定 任意角的大小事没有限制的，角可以任意大小，绝对值大小由旋转次数及终边位置决定 描述任意角时需要注意三个要素，尤其是旋转方向。（旋转中心、旋转方向和旋转量。）

借助单位圆理解任意角的三角函数的定义。根据三角函数的定义，能够判断三角函数值的符号。通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。单位圆对于学生理解任意角三角函数的正负有极大的帮助。当一个角出现时，我们首先判断它的象限，利用单位圆的知识很方便。现实世界中的许多运动变化都有循环往复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性。如何用数学的方法来刻画这种变化？我们要来学习刻画这种规律的数学模型之一 ――三角函数。

三角函数是与角有关的函数，在学习任意角概念时，我们知道在直角坐标系中研究角，可以给学习带来许多方便，比如我们可以根据角终边的位置把它们进行归类，现在大家考虑：若在直角坐标系中来研究锐角，则锐角三角函数又可怎样定义呢？

学生情况估计：学生可能会提出两种定义的方式，一种定义为边之比，另一种定义在比值中引入了终边上的一点P的坐标。

问题：1.锐角三角函数能否表示成第二种比值方式？

2.点P能否取在终边上的其它位置？为什么？

3.点P在哪个位置，比值会更简洁？符号决定于什么？横轴和纵轴决定什么？（引出单位圆的定义）。指出sina=MP的函数依旧表示一个比值，不过其分母为1而已。

三角函数首先是函数。你能从函数观点解析三角函数吗？（定义域）

对于确定的角a，上面三个函数值都是唯一确定的，所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。由于角的集合和实数集之间可以建立一一对应的关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数。

新教材的教学理念之一是让学生去体验新知识的发生过程，首先，角的概念推广了，那么锐角三角函数的定义是否也该推广到任意角的三角函数的定义呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。

其次，到底应该怎样去合理定义任意角的三角函数呢？让学生提出自己的想法，同时让学生去辨证这个想法是否是科学的？因为一个概念是严谨的，科学的，不能随心所欲地编造，必须去论证它的合理性，至少这种概念不能和锐角三角函数的定义有所冲突。在这个过程中，让学生去体验一个新的数学概念可能是如何形成，在形成的过程中可以从哪些角度加以科学的辩思。这样也有助于学生对任意角三角函数概念的理解。理解了单位圆的概念，我们判断三角函数的符号及特殊角容易多了。

再次，让学生充分体会在任意角三角函数定义的推广中，是如何将直角三角形这个“形”的问题，转换到直角坐标系下点的坐标这个“数”的过程的。培养数形结合的思想。我们引导学生从以前的锐角和钝角的知识扩充到任意角，依靠单位圆和特殊角的三角函数求解任意角。学生在自己的脑子里应该有单位圆的图形，把角化成0°――360°的范围后，就可以用单位用的知识判断角的符号。刚判断是容易忽略角的方向，我们规定逆时针方向为正角，顺时针方向为负角，把四个象限的角分正角和负角找出范围，就可以判断角的象限。学生理解了任意角对于三角函数非常重要。计算三角函数的值方便快捷、准确。