分类讨论思想在数学教学中的应用

摘 要：分类讨论法是数学中的一种基本方法，对于提高解题能力，发展思维的缜密性，具有十分重要的意义。论文通过对数学解题过程中常用方法的总结，阐述了分类讨论思想的形成，进而归纳了分类讨论思想的一般步骤，并基于一道数学题研究了分类讨论在数学教学中的应用情况。

关键词：数学教学;分类;讨论思想

一般情况下，当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。然而，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。因此，要把陌生题转化为熟悉题，可以尝试在变换题目的条件、结论（或问题）以及它们的联系方式上采用分类讨论的方法。

一、分类讨论思想的形成

对于陌生数学题，将它转化为熟悉题的常用途径有以下几种。

（1）充分联想回忆基本知识和题型：按照波利亚的观点，在解决问题之前应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。

（2）全方位、多角度分析题意：对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此，根据自己的知识和经验，适时调整分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟悉的解题方向。

（3）恰当构造辅助元素：数学中，同一素材的题目常常可以有不同的表现形式;条件与结论（或问题）之间，也存在着多种联系方式。因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论（或条件与问题）的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。

在将题目熟悉化之后，可以对题目简单化分析，而实施简单化策略的途径是多方面的，最典型的方法即寻求中间环节，简化已知条件，分类考察讨论。

（4）寻求中间环节，挖掘隐含条件：对于结构复杂的综合题，就其产生背景而言，大多是由若干比较简单的基本题，经过适当组合再抽去中间环节而构成的。因此，从题目的因果关系入手，寻求可能的中间环节和隐含条件，把原题分解成一组相互联系的系列题，是实现复杂问题简单化的一条重要途径。

（5）简单化已知条件：有些数学题，条件比较抽象、复杂，不太容易入手。这时不妨简化题中某些已知条件，先考虑一个简化问题。这样简单化了的问题，对于解答原题，常常能起到穿针引线的作用。

（6）分类考察讨论：对于大多数的数学题，解题的复杂性，主要在于它的条件、结论（或问题）包含多种不易识别的可能情形。对于这类问题，选择恰当的分类标准，把原题分解成一组并列的简单题，有助于实现复杂问题简单化。

可见，分类讨论思想是在数学教学与研究的过程中总结出的一种思维方法，而这种方法在解题中也是最为有效的。

二、分类讨论思想解题步骤

分类处理方式是一种逻辑思想，将这种把逻辑分类思想移植到数学中来，可以用以指导解题。

对于数学问题，在解题过程中常常需要借助逻辑中的分类规则，把题设条件所确定的集合，分成若干个利于讨论的非空真子集，然后在各个非空真子集内进行求解，可以获得完满的结果。

用分类法解题，大体包含以下几个步骤：

（1）根据题设条件，明确分类的对象，确定需要分类的集合A;

（2）寻求恰当的分类根据，按照分类的规则，把集合A分为若干个便于求解的非空真子集[A1，A2，…，An];

（3）在子集[A1，A2，…，An]内逐类讨论;

（4）综合子集内的解答，归纳结论。

以上四个步骤是相互联系的，也是分类讨论思想的核心。

从总体上说，分类的主要依据有：分类叙述的定义、定理、公式、法则，具有分类讨论位置关系的几何图形，题目中含有某些特殊的或隐含的分类讨论条件等。在实际解题时，仅凭这些还不够，还需要有较强的分类意识，需要思维的灵活性和缜密性，特别要善于发掘题中隐含的分类条件。

三、分类讨论思想在数学教学中的应用

通过对分类讨论思想的形成、步骤的分析，可知分类讨论思想是数学解题中的重要方法，下面基于一道数学题来体会分类讨论在教学中的应用情况。

例：设椭圆的中心是坐标原点，长轴x在轴上，离心率[e=32]，已知点[P（0，32）]到这个椭圆上的最远距离是[7]，求这个椭圆的方程。

错误解法：依题意，可得椭圆方程为[x2a2+y2b2=1 （a>b>0）]，

则[e2=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2=34]，所以有[b2a2=14]，即[a=2b]。

设椭圆上的点[（x，y）]到点P的距离为d，

则[d2=x2+（y-32）2=a2（1-y2b2）+y2-3y+94=-3（y+12）2+4b2+3]，

当[y=-12]时，[d2]有最大值，从而d也有最大值。

所以，[4b2+3=（7）2]，由此解得：[b2=1，a2=4]。

求得椭圆方程为：[x24+y2=1]。

错误分析：尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是凑巧而已。由“当[y=-12]时，[d2]有最大值”，这步推理就是错误的，其原因在于没有考虑到y的取值范围。事实上，由于点[（x，y）]在椭圆上，所以有[-b≤y≤b]，因此在求[d2]的最大值时，应分类讨论。即：

若[b<12]，则当[y=-b]时，[d2]（即d）有最大值。

于是[（7）2=（b+32）2]，从而解得[b=7-32>12]，与[b<12]矛盾。

所以必有[b≥12]，此时当[y=-12]时，[d2]（即d）有最大值。

所以[4b2+3=（7）2]，解得[b2=1，a2=4]，

于是，求得椭圆方程为：[x24+y2=1]。

通过对学生进行分类思想的训练，可以展开联想和想象的翅膀，培养发散思维能力。对分类思想方法进行分析与研究，易于归纳出解决问题的通性通法与特技巧法，以便抽象概括形成对此类为题的本质认识，进而揭示解题规律，完善解题模式。

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