浅谈函数中的恒成立问题常用解决方法

一、恒成立问题的基本类型

在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题。

函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：①在给定区间上某关系恒成立；②某函数的定义域为全体实数R；③某不等式的解为一切实数；④某表达式的值恒大于a等等……

恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。

恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：

①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。

二、恒成立问题解决的基本策略

（一）两个基本思想解决"恒成立问题"

思路1、mf（x）在x∈D上恒成立m[f（x）]max

思路2、mf（x）在x∈D上恒成立m[f（x）]min

如何在区间D上求函数f（x）的最大值或者最小值问题，我们可以通过习题的实际，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f（x）的最值。

这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。

（二）赋值型--利用特殊值求解

等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得。

例1.由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= （x+1）4+b1（x+1）3+ b2（x+1）2+b3（x+1）+b4 定义映射f：（a1，a2，a3，a4）b1+b2+b3+b4，则f：（4，3，2，1） （ ）

A.10 B.7 C.-1 D.0

略解：取x=0，则 a4=1+b1+b2+b3+b4，又 a4=1，所以b1+b2+b3+b4 =0 ，故选D

例2.如果函数y=f（x）=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-π8对称，那么a=（ ）.

A.1 B.-1 C .2 D. -2

略解：取x=0及x=-π4，则f（0）=f（ -π4），即a=-1，故选B.

此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想。

（三）分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略

1、一次函数型：

若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷。

给定一次函数y=f（x）=ax+b（a≠0），若y=f（x）在[m，n]内恒有f（x）>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于f（m）>0

f（n）>0

同理，若在[m，n]内恒有f（x）

f（n）

例2.对于满足|a|2的所有实数a，求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个字母：x及a，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题。

解：原不等式转化为（x-1）a+x2-2x+1>0在|a|2时恒成立，

设f（a）= （x-1）a+x2-2x+1，则f（a）在[-2，2]上恒大于0，故有：

f（-2）>0

f（2）>0即x2-4x+3>0

x2-1>0

解得：x>3或x

x>1或x

x3. 即x∈（-∞，-1）∪（3，+∞）

此类题本质上是利用了一次函数在区间[m，n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可。

2、二次函数型

涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用。

（1）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）大于0恒成立，则有a>0且

（2）若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。

例3.若函数f（x）=（a2-1）x2+（a-1）x+2a+1的定义域为R，求实数a的取值范围.

分析：该题就转化为被开方数（a2-1）x2+（a-1）x+2a+10在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论。

解：依题意，当x∈R时，（a2-1）x2+（a-1）x+2a+1 恒成立，

所以，①当a2-1=0时，即当a2-1=0，

a+1≠0，时，a=1，

此时（a2-1）x2+（a-1）x+2a+1=10；a=1.

②当a2-1≠0时，即当a2-1>0，

=（a-1）2-4（a2-1）2a+10时，

有a2>1，

a2-10a+90，1 综上所述，f（x）的定义域为R时，a∈[1，9]

3、变量分离型

若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x取值范围内的任何一个数都有f（x）>g（a）恒成立，则g（a）f（x）max.（其中f（x）max和f（x）min分别为f（x）的最大值和最小值 ）

例4.已知三个不等式①x2-4x+3

略解：由①②得2 要使同时满足①②的所有x的值满足③，即不等式2x2-9x+m

即m

又-2x2+9x在x∈（2，3）上大于9，

所以m9

利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题。

三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题策略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法。

（一）换元引参，显露问题实质 1、对于所有实数x，不等式x2log24（a+1）a+2xlog22aa+1+log2（a+1）24a2>0恒成立，求a的取值范围。

解：因为log22aa+1的值随着参数a的变化而变化，若设t=log22aa+1，

则上述问题实质是"当t为何值时，不等式（3-t）x2+2tx-2t>0恒成立"。

这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于

求解关于t的不等式组：3-t>0

=（2t）2+8t（3-t）

（二）分离参数，化归为求值域问题 3、若对于任意角θ总有sin2θ+2mcosθ+4m-1

解：此式是可分离变量型，由原不等式得m（2cosθ+4） 又cosθ+2>0，则原不等式等价变形为2m 根据边界原理知，2m必须小于f（θ）=cos2θcosθ+2的最小值，这样问题化归为怎样求cos2θcosθ+2的最小值。因为f（θ）=cos2θcosθ+2=（cosθ+2）2-4（cosθ+2）+4cosθ+2 =cosθ+2+4cosθ+2-44-4=0

即cosθ=0时，有最小值为0，故m

（三）变更主元，简化解题过程

4、若对于0m1，方程x2+mx-2m-1=0都有实根，求实根的范围。

解：此题一般思路是先求出方程含参数m的根，再由m的范围来确定根x的范围，但这样会遇到很多麻烦，若以m为主元，则m（x-2）=（1-x）2，

由原方程知x≠2，得m=1-x2x-2

又0m1，即01-x2x-21

解之得-1-132x-1或1x-1+132。