洛伦兹混沌系统的电路仿真与设计

【摘 要】本文基于Lorenz混沌系统的动力学方程，利用Matlab软件中的simulink模块搭建方程进行仿真，并将Lorenz方程进行标度变换为一个新的标准方程，使用Mutisim软件进行电路设计与模拟，得到了理想的结果。

【关键词】Lorenz混沌系统；Matlab仿真；模拟电路设计

0 引言

混沌系统对初始值非常敏感，并且具有类随机性，可控及同步性。近年来，混沌保密通讯、混沌电路及加密发展成为一个前沿领域。混沌加密等应用问题首先要解决的问题即混沌电路的设计。本文基于Lorenz混沌系统，分析其基本特性，并进行了电路仿真及模拟电路的设计。

1963年著名的气象学家E.N.Lorenz研究大气热对流运动时发现了一种特殊的混沌现象，即蝴蝶效应。Lorzen吸引子是目前文献记载最早的奇怪吸引子，因此Lorenz也被成为“混沌之父”。至今， Lorzen系统族的发展虽然有很长的历史，但是Lorzen系统族丰富的动力学行为依然值得更加深入的研究，并进行更多的应用发展。

lorenz系统的动力学方程为：

■=-σx+σy■=-y+rx-xz■=-bz+xy （1）

式中，x，y和z表示对流强弱，水平温差和与温差有关的变量；σ、γ和b则分别为Rayleigh数、Rayleigh数和容器大小有关的参数。当σ =10，b=8/3，γ=28时，lorenz系统出现混沌现象。

1999年，我国学者陈关荣等人提出了一个新的混沌吸引子，即Chen吸引子，它的动力学方程为：

■=a（y-x）■=（c-a）x-xz+cy■=-bz+xy （2）

当a=35，b=3，c=28时，Chen系统产生混沌现象。

2002年，吕金虎提出了LU系统，它的动力学方程为：

■=a（y-x）■=-xz+cy■=xy-bz （3）

当a=36，b=3，c=20时，LU系统出现混沌现象。

这三个系统具有类似却不相同的动力学行为，被称为Lorzen系统族[1]，它对于混沌系统的理论研究以及控制、同步、加密应用等都具有重要的意义。

1 Lorenz系统的Matlab仿真

Lorenz系统的参数取固定值，σ=10，b=8/3，r=28，动力学方程为：

■=-10x+10y■=-y+28x-xz■=-8/3z+xy （4）

根据公式（4）提供的Lorenz系统数学模型，利用Matlab软件进行仿真，仿真结果如图1所示。

2 Lorenz动力学方程的改进

由图1的仿真结果观察得到，x轴范围为-30V～30V，y轴范围为 -30V～30V，z轴范围为0～50V。而一般运算放大器较好的线性工作范围是-10V～+10V，由此可见，没有经过变形的Lorenz混沌系统不能采用模拟电路来实现的。这也是Lorenz混沌系统不能实现电路的关键原因。下面将Lorenz动力学方程的参数进行调整，使各个输出端工作范围限制在-10V～+10V[2-3]。

引入三个全新的变量：

u=■，v=■，w=■ （5）

由相图可知，x在变化幅度为-30V～30V，取u=■后，u变化范围是-3V～3V。y轴范围为-30V～30V，取v=■后，v变化范围是-3V～3V。z轴范围为0～50V，取w=■后，w变化范围是0V～3V，均满足电路要求的动态范围。

以u、v、w三个变量表示的Lorenz动力学方程为：

■=σ（v-u）■=ρu-v-20uw■=5uv-βw （6）

既得改进后的Lorenz动力学方程。将变量u、v、w还原为x、y、z，

■=σ（y-x）■=ρx-y-20xz■=5xy-βz （7）

改进后Lorenz系统电路输出幅值范围满足实际电路要求幅值范围。其中xy乘积项显示的范围是近-4V～4V，xz乘积项显示的范围是近-4V～4V，yz的乘积项显示的范围是近0V～50V。因此，各参数幅值范围均在-10V～+10V。经过标度变换后，新的动力学方程完全可以符合电路设计的要求。

3 Lorenz系统的模拟电路设计

由改进的Lorenz动力学方程，建立Multisim仿真模型，经过计算确定所需要的电路器件及其参数。该仿真模型使用8个模拟运算放大器，2个模拟乘法器。通过运算放大器，电容及电阻搭建电路实现了三个积分器U2、U6、U8，它们的的输出端分别是X，Y，Z。乘法器A1输出端XZ，乘法器A2输出端是XY，R1=R2=R3=R4=R6=R7=R8=R10=R11=R14 =R15=R16=R17=10k， R5为13k， R9为200k， R13为200k， R18为20k，R20为50k， R21为91k， R12和R19为10k电位器，C1和C3为100nf， C2为910nf。Lorenz系统模拟电路如图2所示，仿真结果如图3所示， 得到了理想的仿真效果。

图2 改进后 Lorenz系统模拟电路

【参考文献】

[1]黄永念.非线性动力学引论[M].北京：北京大学出版社，2010.

[2]康大伟.洛伦兹混沌电路元件值与混沌图形研究[J].福州大学报，2002，30（1）：43-47.

[3]贾红艳.混沌与超混沌系统模型分析及模拟电路研究[D].天津：南开大学信息技术科学学院，2010.