浅谈高中数学函数f(x)的连续性及应用

摘 要:f(x)是函数的符号,它代表函数图像上每一个点的纵坐标的数值,因此函数图像上所有点的纵坐标构成一个集合,这个集合就是函数的值域。本文主要是浅析函数f(x)的连续性及应用。

关键词:函数 连续性 应用 高中数学

函数是高中数学的核心概念,函数的学习贯穿于整个高中阶段。在函数学习中,学生既要面对同时出现的几个抽象概念:对应、映射、函数,还要理清它们之间的关系。

f(x)作为函数的符号,它代表函数图像上每一个点的纵坐标的数值,因此函数图像上所有点的纵坐标构成一个集合,这个集合就是函数的值域。本文主要是着重浅析函数f(x)的连续性及应用,展现函数的概念、揭示函数概念的本质、加强函数的应用。

一、函数f(x)在x0处连续必须同时具备(满足)有三个条件

(1)f(x0)存在,即f(x0)在x=x0处有定义;

(2)f(x)存在;

(3)f(x)=f(x0),函数f(x)在x0处连续,反映在图像上是f(x)的图像在点x=x0处是不间断的。

例题:讨论函数f(x)=x2,x≤2x+2,x>2在x=2处的连续性,并做出函数的图像。

解:根据定义的三个步骤进行验证:

(1)f(x)的定义域是(-∞,+∞),故f(x)在x=2及其附近有定义,f(2)=4;

(2)limx2f(x)=limx2(x+2)=4

limx2f(x)=limx2(x+1)=4

所以limx2f(x)=4

(3)limx2f(x)=f(2)

符合定义的三个步骤。

所以f(x)在x=2处连续。

二、函数f(x)在点x0处不连续,就是f(x)的图像在点x=x0处是间断的

(1)在点x0附近f(x)有定义,但在x0点没有定义;

(2)limxx0f(x)不存在;

(3)虽然f(x0)有意义,且limxx0f(x)存在,但limxx0f(x)≠f(x0)

(1)在x=1处有定义;

(2)函数在x=1处的左右极限相等,即函数在x=1处的极限存在,且等于2,但不等于f(x)即limx1f(x)=2≠0.5=f(1)所以该函数在x=1处不连续。

三、由连续函数的定义,可以得到计算函数极限的一种方法

如果函数f(x)在其定义区间内是连续的,点x0是定义区间内的一点,那么求xx0时函数f(x)的极限,只要求出f(x)在点x0处的函数值f(x0)就可以了,即limxx0f(x)=f(x0)。

例题:设f(x)=2+x2,x≠0a,x=0,试确定常数a,使得f(x)在x=0处连续。

分析:要使得f(x)在x=0处连续,只需limx0f(x)=f(0)即可。

解:limx0f(x)=limx0(2+x2)=2又f(0)=a,故当f(0)=limx0f(x),即a=2时,f(x)在点x=0处连续。

通过以上例题,初等函数的连续性利用极限和连续的理论,可以得到这样的结论:一切初等函数在其定义区间内都是连续的。这里所谓定义区间,是指包含在定义域内的区间。有了初等函数的连续性,初等函数在定义域内的点的极限就是该点处的函数值。

作者单位:南宁市武鸣县两江中心校