一元一次方程组范文

一元一次方程组篇1

传统的课程安排，是把“二元一次方程组”排在“一次函数”的前面。这样安排的优点不言而喻是当学生遇到求解“一次函数”的函数表达式时，学生会自主的联想到前面的解二元一次方程组；或是教师略微点醒一下，也会想利用消元的思路求解出“一次函数”中的k与b，从而达到确定函数关系式的目的。在这里，似乎一切安排的都很合理，很有顺理成章的感想。教师与学生双方都有一种水到渠成的顺畅，都会有“新问题”原来就是“老问题”的感触，从而使教与学的双方都没有丝毫的障碍感。教与学两者得到皆大欢喜的结果。可这种安排却使教与学都失去了挑战性，失去了培养学习能力的价值。

在新的教材中，编辑有意地把“一次函数”与“二元一次方程组”给弄错位，有意地把“一次函数”放在了“二元一次方程组”的前面。这样教与学的双方都无法避免出现有关k，b的二元一次方程，一时之间双方都会有束手无策之感，仿佛出现了智力上的障碍。但我认为这恰恰是新教材的一种新的理念的体现，它提供了高于挑战的学习内容，也给了教师一个亲身与学生一同经历探索的过程，增加了双向活动的机会，更为学生之间的合作交流提供了良好的基础。

教材中，首先给出了确定一次函数需要的是两个条件，尔后给出了相关的问题中出现了y=kx+b的形式（其中k≠0，k为常数）向学生提问：“这是一个什么内容？我们以前见过吗？要求的是什么？确定它需要几个条件？”由教师一一提问后，学生一一的回答。紧跟着教师提问：

15=k+b……①

16=3k+b ……②

如何确定k、b呢？并要求不翻书。结果学生展开了激烈的讨论。有的因为预习过，做出了用“b”相等的回答，有的用相关的“k”相等来回答。有的同学注意到了“相等”的意义提出了加减的可能性（用①与②中的b相等）。

还有的想得更多，注意到了由“二元”到“一元”的变化，提出了“代入”的思维以及“消元”的共性。当然不是这样规范的语言，而是他们的语言。没想这样一个小小的安排，却激发了学生这么多的想法，这是传统的教材内容无法办到的。

一元一次方程组篇2

1、会用代入法解二元一次方程组

2、会阐述用代入法解二元一次方程组的基本思路——通过“代入”达到“消元”的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。

此外，在用代入法解二元一次方程组的知识发生过程中，让学生从中体会“化未知为已知”的重要的数学思想方法。

引导性材料：

本节课，我们以上节课讨论的求甲、乙骑自行车速度的问题为例，探求二元一次方程组的解法。前面我们根据问题“甲、乙骑自行车从相距60千米的两地相向而行，经过两小时相遇。已知乙的速度是甲的速度的2倍，求甲、乙两人的速度。”设甲的速度为X千米／小时，由题意可得一元一次方程2（X＋2X）＝60；设甲的速度为X千米／小时，乙的速度为Y千米／小时，由题意可得二元一次方程组 2（X＋Y）=60

Y=2X

观察

2（X＋2X）＝60与　2（X＋Y）=60 ①

Y=2X

②　有没有内在联系？有什么内在联系？

（通过较短时间的观察，学生通常都能说出上面的二元一次方程组与一元一次方程的内在联系——把方程①中的“Y”用“2X”去替换就可得到一元一次方程。）

知识产生和发展过程的教学设计

问题1：从上面的二元一次方程组与一元一次方程的内在联系的研究中，我们可以得到什么启发？把方程①中的“Y”用“2X”去替换，就是把方程②代入方程①，于是我们就把一个新问题（解二元一次方程组）转化为熟悉的问题（解一元一次方程）。

解方程组　2（X＋Y）=60 ①

Y=2X

②

解：把②代入①得：

2（X＋2X）＝60，

6X＝60，

X＝10

把X＝10代入②，得

Y＝20

因此：　X＝10

Y＝20

问题2：你认为解方程组　2（X＋Y）=60 ①

Y=2X

②　的关键是什么？那么解方程组

X＝2Y＋1

2X—3Y＝4　的关键是什么？求出这个方程组的解。

上面两个二元一次方程组求解的基本思路是：通过“代入”，达到消去一个未知数（即消元）的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解二元一次方程组的方法叫“代入消元法”，简称“代入法”。

问题3：对于方程组　2X＋5Y＝－21　①

X＋3Y＝8

②　能否像上述两个二元一次方程组一样，把方程组中的一个方程直接代入另一个方程从而消去一个未知数呢？

（说明：从学生熟悉的列一元一次方程求解两个未知数的问题入手来研究二元一次方程组的解法，有利于学生建立新旧知识的联系和培养良好的学习习惯，使学生逐步学会把一个还不会解决的问题转化为一个已经会解决的问题的思想方法，对后续的解三无一次方程组、一元二次方程、分式方程等，学生就有了求解的策略。）

例题解析

例：用代入法将下列解二元一次方程组转化为解一元一次方程：

（1）X＝1－Y

①

3X＋2Y＝5

②

将①代入②（消去X）得：

3（1－Y）＋2Y＝5

（2）5X＋2Y－25.2＝0　①

3X－5＝Y

②

将②代入①（消去Y）得：

5X＋2（3X－5）－25.2＝0

（3）2X＋Y＝5

①

3X＋4Y＝2　②

由①得Y＝5－2X，将Y＝5－2X代入②消去Y得：

3X＋4（5－2X）＝2

（4）2S－T＝3

①

3S＋2T＝8

②

由①得T＝2S－3，将T＝2S－3代入②消去T得：

3S＋2（2S－3）＝8

课内练习：

解下列方程组。

（1）2X＋5Y＝－21

（2）3X－Y＝2

X＋3Y＝8

3X＝11－2Y

小结：

1、用代入法解二元一次方程组的关键是“消元”，把新问题（解二元一次方程组）转化为旧知识（解一元一次方程）来解决。

2、用代入法解二元一次方程组，常常选用系数较简单的方程变形，这用利于正确、简捷的消元。

3、用代入法解二元一次方程组，实质是数学中常用的重要的“换元”，比如在求解例（1）中，把①代入②，就是把方程②中的元“X”用“1－Y”去替换，使方程②中只含有一个未知数Y。

课后作业：

一元一次方程组篇3

一、转化思想

转化正是在数学解题过程中经常用到的一种重要思维方法，通过转化将那些生疏的问题转化为自己熟悉的，把复杂的问题转化为简单的，把那些抽象的问题转化为具体的。比如，在二元一次方程组解题过程当中我们常常用到的消元法，其核心的思想就是把学生们刚刚接触到的二元一次方程组这样的新知识转化为他们以前较为熟悉的一元一次方程来解决问题。这就体现了在转化过程中把未知的问题转化为已知的问题，把较难的问题转化为相对容易的问题来解决。如何运用转化思想，就需要老师在课堂中通过一个个教学案例来传授给学生这种数学思想，最终实现举一反三，从而实现教学目标，提高他们解决实际问题的能力。

例1： 解方程组6x-3y=15 ①3x-y=13 ②

解：②×2-①得，y=11

把y=11代入①，得x=8

方程组解为x=8y=11

例1的二元一次方程式的解题过程中所利用加减消元法，把刚刚接触到的二元一次方程组转化成同学们以前较为熟知的一元一次方程来求解。当然，例1实际也可以通过代入消元法来最终求得x、y值，其实，这种代入消元法所体现的思想也是一种转化思想，即将二元一次转化为一元一次来求解。

二、整体思想

整体思想也是一种重要的数学思想，它是指把问题看成是一个个完整的整体，注重对这些问题的整体结构以及结构改造最终实现问题解决的一种思维过程，运用整体思想来解决二元一次方程组题解往往会起到改进和优化整个解题的过程，使许多常规思维下难以解决或者繁琐的解题过程变得异常得简单、便捷。

例2：若方程组x+y=6 ①3x-5y=-2②，则3（x+y）-（3x-5y）的值是多少？

其实，这就是一道考察二元一次方程组的题解问题。可以将x+y看成一个整体A；3x-5y看成是一个整体B，那么3（x+y）-（3x-5y），实际就变成为了3A-B的求解过程，即3×6-（-2）=20，而并不需要先解出x值是多少，y值又是多少，让整个解题过程变得简化。

三、数形结合思想

数学家华罗庚先生说过：数形结合百般好，割裂分家万事休。数形结合思想在中学数学教学中始终都能体现出来，这种思想的本质其实就是运用好数与形的各自特点，把需要解决的问题通过数量关系和图形结合起来进行分析的一种解决问题的思想。具体在整个初中数学教学来看，数形结合思想主要体现在：一是建立适当的代数模型来解决有关方程；二是与函数相关的代数、几何综合性问题；三是以图形的方式呈现出来的一种实际应用性问题。巧妙地运用好数形结合来解决问题的关键是要找准数与形的契合点，往往让实际中难以解决的问题刹那间迎刃而解，取得事半功倍的效果。这一点，在二元一次方程的解题中表现得尤为突出。

例3：a、b、c三位学生来解120道数学题，其中，a、b、c每人都正确地解出了其中的90道题，如果把只有一学生解出的题叫做“难题”，把三个学生都解出的题目叫“容易题”。那么，是“难题”多？还是“容易题”多？多多少？

乍一看，这是一道比较难解的题，但转念一想，我们是不是可以运用图形结合的思想来解这道题呢。假设a、b、c三位同学都解出的“容易题”为x道，只有一位学生解出题目为“难题”，分别为y1、y2、y3个，那么难题总数为y=y1+y2+y3.由上图我们可以很容易得出下列方程式：

x+y1+a+b=90 ①

x+y2+a+c=90 ②

x+y3+b+c=90 ③

x+y+（a+b+c）=120 ④

①+②+③，得3x+y+2（a+b+c）=270 ⑤

由④×2得2x+2y+2（a+b+c）=240 ⑥

⑤-⑥得x-y=30。

答：“容易题”要比“难题”多，多30道。

本题并不要求解出a、b、c三位同学具体求解了多少道题，通过题目所给出的材料来看，一味地去追求具体有多少道“难题”、“容易题”也不是简单就能求解出结果的。这时，引入图形结合思想，既一目了然，也使整个解题思路豁然开朗起来，整个解题过程也就需要短短的几分钟就可以解决。

四、分类讨论思想

二元一次方程组中使用到的分类讨论思想，其本质就是按一定的标准将题目中的素材分成若干类，然后对每一类再进行逐一解决，从而实现最终解决整个问题的效果。不过在引入分类讨论思想时需要秉持三个基本原则，即同标准、不重复、无遗漏。分类讨论的步骤一般是：一明确整个对象全体；二是合理分类；三是逐类讨论；四是归纳、得出结论。

例4：某销售商计划用45000元购进20捆，每捆有1000张。共有a、b、c三种不同的面值，其中a款是每张1.5元，b款是每张2元，c款是每张2.5元。现在若该销售商购进2种不同面额的20捆，用去45000元，请问共有几种方案？

分析：本题主要考查的是要从a、b、c三种不同面值的中选出2款，因此，共有三种组合，即a，b；a，c或者b，c。

因此，可以设购a款有x张，b款的有y张。那么：

x+y=1000×20①1.5x+2y=45000②，解出的结果是x

设购进a款有x张，c款的有z张。那么：

x+z=1000×20①2y+2.5z=45000②，解出的结果是x=10000①z=15000②，

设购进b款有y张，c款的有z张。那么：

y+z=1000×20①2y+2.5z=45000②，解出的结果是x=10000①z=10000②，

一元一次方程组篇4

例1 解方程组3（x+y）-4（x-y）=1，+=1.

错解：设x+y=m，x-y=n，

则原方程组可化为3m-4n=1，+=1.解得？摇m=，n=1.

所以原方程组的解是x=，y=1.

剖析：整体换元的策略是正确的，但没有把元换过来，因而出错。

正解：设x+y=m，x-y=n，

则原方程组可化为3m-4n=1，+=1.解得？摇m=，n=1.

所以x+y=，x-y=1.解得x=，y=.所以原方程组的解是x=，y=.

例2 某车间实行每天定额工作量管理方法，如果第一天平均每人完成5件产品，全车间一天超额完成30件；如果第二天平均每人完成4件，全车间这一天比定额少完成20件，求车间的人数及每天定额完成多少件产品？

错解：设车间有x人，每天定额完成y件产品.

由题意，得5x-30=y，4x=y+20. 解得x=10，y=20.

答：这个车间有10人，每天定额完成20件产品.

剖析：“如果第二天平均每人完成4件，全车间这一天比定额少完成20件”根据题意应该是4x=y-20，而不应该写成4x=y+20。错因是把“少”的意义理解错了.在解答类似问题时，要正确理解关键词语“多”、“少”，“增加”、“减少”的意义，正确建立数量关系.

正解：设车间有x人，每天定额完成y件产品.

由题意，得5x-30=y，4x=y-20. 解得x=50，y=220.

答：这个车间有50人，每天定额完成220件产品.

例3 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果他以每小时75千米的速度行驶，那么可提前24分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离.

错解1：设从甲地到乙地的距离为s千米，从甲地到乙地的规定时间是t小时，

根据题意，得=t+24，=t-24.

错解2：设从甲地到乙地的距离为s千米，从甲地到乙地的规定时间是t小时，

根据题意，得=t-，=t+.

剖析：（1）错解1的解题过程错在方程的单位不统一，其中和t的时间单位是小时，而24分钟的单位是分钟.

（2）错解2的解题过程错在错误理解了题目中的等量关系，晚到24分钟说明时间用得多，应为t+；提前24分钟说明时间用得少，应为t-.

正解：设从甲地到乙地的距离为s千米，从甲地到乙地的规定时间是t小时，

根据题意，得=t+，=t-.解这个方程组，得s=120，t=2.

答：从甲地到乙地的距离为120千米.

例4 一列快车长168米，一列慢车长184米，如果两车相向而行，从相遇到离开需4秒；如果同时同向而行，从快车追上慢车到离开需16秒，求两车的速度.

错解：设快车速度为x米/秒，慢车速度为y米/秒.

则根据题意，得4（x+y）=168，16（x-y）=184.即x+y=42，x-y=11.5. 解得x=26.75，y=15.25.

答：快车每秒种行驶26.75米，慢车每秒种行驶15.25米.

剖析：如果两车相向而行，则其相对速度为两车速度之和；如果两车同向而行，则其相对速度为两车速度之差，这一点并没有错.问题是在相对移动的过程中，移动的距离应为两火车的长度之和.

正解：设快车速度为x米/秒，慢车速度为y米/秒.

则根据题意，得4（x+y）=168+184，16（x-y）=168+184.即x+y=168，x-y=22.解得x=55，y=33.

一元一次方程组篇5

教学过程可以由指令性操作活动向自主性探索实践转化。”“动手实验、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”课堂教学应当走过这样的过程：“学什么？为什么学？怎么学？用在哪？”学生要学习新事物，除了自身对新事物的兴趣外，还要体会到学习的必要性，学习的价值。如教学《三元一次方程组的解法》这一课时，教学时我安排了比较充实的实践、探究和交流的活动。首先提出了一个问题：如何解二元一次方程组？二元一次方程组的解法体现一个什么数学思想？再出示一个三元一次方程组，三元一次方程组又该如何解？问题提出后，鼓励学生通过观察、讨论、交流并尝试解答，从而逐步探索出方法—逐步“消元”。这个过程中，学生不仅学会了解三元一次方程组，同时体会了分析问题的一种方法，及转化的数学思想积累了数学活动的经验，感受到学习的成功，体会了学习的功效。

一元一次方程组篇6

关键词：探索 交流 数学复习

“自主探究、合作交流”是新一论数学课程改革提倡的数学学习方式。在数学复习课怎样运用这一学习方式，其效果如何？我带着这个问题并结合课题研究，于2003年12月29日在成都市龙泉驿区同安中学八年级上期期末进行了一次复习课的教学研究活动，取得了很好的教学效果。本文整理了该节课的实录并加以点评，作为新课程改革试验研究中的一个素材，供大家共同研究。

师：同学们，今天这节课，我们一起来复习研究二元一次方程组及其解法这一章的内容。昨天我请大家把二元一次方程组这部分知识进行归类、整理。现在哪一位把你们对这部分知识归类整理的情况给大家展示一下。那位同学先来展示一下你的成果？

评：这里教师是要求学生展示他们的研究成果，而不是要求学生回答教师提出的问题，是把学生作为一个研究者来看待。这既反映了教师的教学观和学生观，也把学生真正作为学习的主体来对待，充分发挥了学生的主体作用。

生1（白凤友）：我是按教材的编写顺序整理的（展示台展示）（略）。

师：不错！那位同学还有不同的整理方法？

生2（邹巧）：我是从二元一次方程的整体结构进行整理的，我分为四部分：

1、二元一次方程（组）的有关概念

2、二元一次方程组的解法，（例：略）。

3、二元一次方程组与一次函数之间的关系:一个二元一次方程的图像是一条直线。因此，二元一次方程组解的情况就可由平面上方程组对应的两条直线的位置关系确定。两条直线平行时方程组无解；两条直线相交时方程组有一个解；两条直线重合时，方程组有无穷多组解。反过来也成立。

4、二元一次方程组的应用;(1)求待定字母的值（例：略）；（2）解应用问题（例：略）等。

师：两位同学从不同的角度对本章知识进行了归类整理，都很不错。但比较而言，你们更喜欢那位同学的？

生众：邹巧同学（生2）！

师：第一位同学是按教材的顺序进行整理，这对于初学整理的同学也是一种常用的方法，但是第二位同学的整理把握住了这章知识的整体结构，她对每一种情况还举例给予了说明，理解得更加深刻。两位同学的都不错!大家以后再进行整理总结时要向她们学习。这里，我也对这一章的知识进行了归纳整理，现在大家可以看一看。（用多媒体展示，结果与同学的比较，还不如第二位同学的好）。同学们可以看出，老师整理的还不如你们整理的好，同学们比老师还聪明。其实只要大家勤于思考，多动脑、动手，一定会有重要的发现和收获的。

评：先由学生自己对该部分知识进行归纳总结，在课堂上展示后再通过师生的共同评价修正，从而帮助学生建立整体性的认知框架，完善认知机构。学生的主动性和积极性得到了充分的发挥，比只由教师讲解学得主动、理解深刻。

心理的安全和自由是学生创造性思维的必要条件。教师以一个参与者的身份积极参与交流与评价，并勇于承认自己的不足，使学生感到教师对他们敞开了心怀，可亲可敬，从而使学生获得了一种心理的安全和自由，为学生大胆地探索、积极交流，融造了宽松的心理环境和民主、平等、和谐的课堂环境。

师：现在我们来看下面的一个例子：

例1、 解方程组：

大家先自己求解，要求尽量用多种解法，得出解答后先在学习小组内交流，比较那种解法好，然后各组推出最好的解法在全班交流。

评：利用小组学习的形式，给每个学生提供更多合作交流的机会，使面向全体得到了真正的落实。

（学生解题，小组内交流、讨论，教师巡视、指导）

师：我看大家都已得出了该题的解答，有些组还得出了老师都还未想到得好解法，现在请各组展示你们的优秀成果。在展示时要求要与别人的解法不相同。

生3（一组）：我们是先用去分母把方程组化简整理后用加减消元法求得解答的。

生4（三组）：我们把化简整理后用的是代入消元法求得解答的；

生5（四组）：我们用的是换元法。令x+y=m， x-y=n， 然后求解；

生6（二组）：我们没有直接换元，而是把和看成一个整体，通过心算就可得到，=2。由此得，再通过心算即得方程组的解为 。（全班自发地鼓掌）

师：太棒了！还有没有其他解法？

（学生都积极进入思考）

生7（三组）：把原方程组化简后用图像法解。

生8（四组）：换元后用图像法解。

评：生8的发言显然是受到了生7的启发。学生之间的相互交流、讨论，进行思维的相互碰闯，可进一步激发思维的灵感、创造的火花，不断产生“好念头”。因此，开展交流讨论是培养学生创新思维能力的一条有效策略。

师：同学的发言很好，把老师想要讲的都说了。现在大家对四个组得出的四种不同解法进行一个评价，看那个组的解法最好。

评：把评价纳入学生的学习过程之中，用评价来激发学生的学习兴趣，从而使评价成为促进学生主动学习的一部分。同时通过对几种不同解法优劣的比较和鉴别，可培养学生思维的批判性和养成解题后反思的良好习惯。

生8（五组）：我认为，一组和三组的解法很好，因为，这是解二元一次方程组的常用方法。我们组也都是用的这两种解法。

生9（六组）：我认为，四组的解法更好。虽然一组和三组的解法是常用的解法， 但计算较繁。四组的解法通过换元，使形式更简单了，便于计算，且不易出错。

生10（一组）：虽然换元后形式要简单一些，但要解两次方程组，增加了解方程组的次数，并不一定就简单！

生6：我认为，我们组的解法最简单、最好。我们在解该题时，根据该题的特点，利用了换元的想法但没有换元，而是把和看成一个整体进行求解，整个解的过程基本上没有动笔就得出了答案，并且不易出错。

生5：我也认为二组的解法比我们组的好。

生11:我赞同生6的意见。我还想说一点。本题除了最好的解法以外，我认为，本题用图像法解是最不好的解法。因为，当你画好图像时，我已经解出答案了。用图像法解不但费时而且由于画的图像如果不准确得出的解还只是一个近似解而不是准确值。

评：教师原先的设计只是想通过比较评出最优秀的解法，而学生不但评出了最优解法，而且对每种解法的优劣还进行了相互比较评价，完全超出了教师的设想。实际上学生的评价才是全面、公正和最有价值的。往往在许多时候，学生的智慧要超过老师！

师：同学们分析得很好。通过比较、分析，大家是否都认为第二组的解法最好？生众: 第二组的解法最好！

师：我赞同大家的意见。其实，各组的解法有各自的特点，他们分别是从不同的角度思考进行的。第二组同学的解法是在认真审题、仔细观察题目特征的基础上，运用了两种数学思想方法从而快速、准确地得出了问题的解答。这两种数学思想方法是“换元的思想”和“整体的思想”。第二组同学的解答给我们一个很好的启示：在解题时，一定要认真审题，仔细观察题目的特征，灵活选用解题的方法，并恰当的运用数学思想方法来指导解题，可提高我们的解题效率。若长期这样进行下去，可形成良好的数学思维策略，迅速提高解题能力。

评： 数学思想方法是数学的精髓和灵魂，是数学知识在更高层次上的抽象和概括。利用数学思想方法来指导数学学习和解题，往往能提高学生的数学学习效率，达到事半功倍的效果。但数学思想方法不是游离于数学知识之外的，而是渗透在数学知识的发生、发展和运用的过程之中的。这就要求教师要有目的地及时总结提炼，将数学思想方法的学习有机地融入学生的数学学习过程之中。这里，教师把自己置于一个参与者的身份，参与学生的讨论，并将学生讨论中出现的数学思想方法及时地进行总结提炼，使学生认识到数学思想方法在数学学习中的重要价值和作用，从而将数学思想方法的学习有机地渗透其中，使整个讨论和学生的认识上升到一个新的高度。

师：刚才我们在给出了方程组的情况下获得方程组的解为。现在我们反过来思考一个问题：已知解为的方程组除例1外还有哪些？你们能否自己编一道用到例1的方程组来解的数学问题？看谁编的问题新颖、独特，形式多样。

评：教师是学生学习、探究活动的组织者和引导者。此处教师从培养学生探索创新能力和促进学生发展的角度出发又从反面提出问题，引导学生又积极的投入到探索、研究之中。

（学生进行积极的思考、探究，教师在学生之间巡回指导。时儿作为顾问回答学生提出的问题；时儿给予学生必要的指导；时儿参与学生的讨论、交流）。

生12; 何老师，我认为解为的方程组除例1外还有:

(1) ; (2) .

师：是否只有这两个方程组？

生12：不是，还有很多个？

生13：已知，则x =

，y =

.

师：她是利用非负数的性质以填空题的形式编制的习题，很好！（把题写在黑板上）还有其它形式的吗？

生14：有！我编了一道求值题：

已知：-3与7是同类项，求代数式2x2-3y+1的值。

师：好！这位同学是把同类项的概念与解方程组融为一体编制的，很有新意。（把题写在黑板上）

生15：我编制了一道选择题：下列方程组中，解为的方程组是（ ）

(A) ; (B) ; (C) ; (D) .

师：很好！与众不同。（把题写在黑板上）

生16：我还有一道题：

是否存在整数m、n 同时使关于x，y的方程组和的解都为。如果有，请求出的m、n值，如果没有请说明理由。

师：他出的是一道探索性问题，很有创意。（掌声）这种题型是近几年中考试题中经常遇到的一种题型，它对考察同学们的探究能力十分有利，因此，大家要注意这种题型的解法和作用。（把题写在黑板上）

以上大家都是着眼于解为而编制的习题，有没有利用例1 的方程组来解决编制的习题呢？可以上黑板板书和讲解。

生6：有！我编了一道文字题。（上黑板板书习题）

有一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字和的一半加上十位上的数字与个位上的数字差的等于7； 它十位上的数字与个位上的数字和的一半减去十位上的数字与个位上的数字差的等于3；求这个两位数。

如果分别设十位上的数字为x，个位上的数字为y，得到的方程组就是例1的方程组。所以，这个两位数是82 。

生17：我编了一道应用题（上黑板板书习题）:

一个笼子里有一些鸡和鸭。已知鸡的总数和鸭的总数的和的与鸡的总数和鸭的总数的差的相差3只；鸡的总数和鸭的总数的和的与鸡的总数和鸭的总数的差的一共刚好7只，问：这个笼子里的鸡和鸭各有多少只？

生18：我所编得题不是利用例1的方程组来解，但仍然是用二元一次方程组来解的。（上黑板板书习题）:

有一个运输队承包了一家公司运送货物的业务。第一次运送18吨时派了一辆大卡车和5辆小卡车，第二次运送30吨时派了一辆大卡车和11辆小卡车，并且两次所派的车都刚好装满。问：两种车型的载重量各是多少？

师：这位同学没有局限于我们提出的问题，而是作了进一步的拓展。思路开阔，并且所编的问题，语言表述清楚，思维严谨，很不错！（掌声）

何老师，我还有！我还有！……

这时下课铃响了，教师及时地作了总结。许多学生为自己的成果没有得到展示而懊悔不已。

师：同学们今天思路开阔，思维活跃，充分发挥和展示了你们的聪明才智。你们编制的许多问题，老师课前都没有想到，很了不起！我今后还要向同学们学习。

评：几句简短的激励性评价语言，把老师置于与学生同等的位置，拉近了师生之间的距离，增进了师生情感。同时，又使学生增强了成就动机，获得了成功的满足，激发了学生学习和探究数学的兴趣与积极性。

由于时间关系，有许多同学的成果还没有得到展示，因此，今天的作业就是每个同学自己编五道形式不同而要用到二元一次方程组来解的习题，编好后写出它的解答过程，看谁编的好。同时总结这一章的主要题型和解题规律，自己在学习这一章时的心得体会或者自己的新发现。

评：时时反思总结，是提高学生数学学习效率，增强自律学习的有效策略。而且数学的学习并不是仅仅做几道数学题，而是要通过数学的学习提高学生的各种能力，促进学生的发展。这里教师的作业布置，不是随便点几道习题让学生做，而是通过让学生编题、解答和总结，既注重了知识与技能的训练，又注重了的学生发散思维能力、创造思维能力和反思总结能力的培养。良好的数学学习习惯和方法的养成以及数学情感、态度和价值观的形成是在学生数学习的过程中逐渐完成的！

这节课使我和听课的老师以及上课老师的都感受很深。课后，我与何老师交谈，他说：“这节课完全出于我的想象之外。我原先设计为主要通过教师的讲解和各种题型的练习来复习巩固这一章的知识与技能。上次我听了你的建议后，提出了今天的设计方案。说实话，我当时心中都没有底。特别是各种不同题型的编制，我认为学生不可能编的那么全面、深入。而课堂上学生的表现简直让我惊讶。想不到学生的思维那么活跃，能力那么强。他们所编的习题类型不但覆盖了我设计的类型，而且有些还超出了我的思考。学生真是太聪明了！”

随后我又组织学生进行了座谈。学生的反映更是热烈。他们说：“以前的复习课，全由老师讲，我们很多同学听一会儿就分散精力，有一些学生根本就没有听。课后作业许多同学没有认真地独立完成，还有一些还是抄别人的，一章复习完后许多知识没有真正弄清楚，还是迷迷糊糊的” 。“今天的课，课前老师让我们自己先对这一章进行整理，而且说课堂上要展示，大家都认真的进行了复习整理。除了自己看书上的内容外，我们还翻阅了一些参考资料，与同学进行了讨论。这样老师还没有上课，我们对这一章的知识及相互之间的关系就基本上复习和了解了。课堂上再通过展示大家的整理和教师的讲解，使我们既看到了到自己的不足，又学习到了别人的方法，进一步加深了对这一章知识的理解与掌握，印象十分深刻，特别是让我们自己编题，大家积极性都很高，都在认真地进行” 。“当听（看）到别人编的很有新意时，也启发了自己的思路，产生了一些新的想法” 。“以前老师布置的各种不同类型的习题，我们只是为了完成作业，从没有认真去想一想它们之间有何联系和规律。今天通过我们自己编制并展示了各种不同的类型，使我们看到了这些不同类型习题的解题规律和相互之间的联系，我们觉得这些题简单多了” 。“老师今后的课都应该这样上。让我们先自己去做一做，做后再交流，通过交流，可以互相启发，这样我们收获要大得多”。

在复习课中如何体现新课程的教学理念？如何改变学生的学习方式，提高复习课的效率，是在新课程改革中需要认真研究的课题。在这节课的教学设计时，我们在明确复习课的目的任务的前提下，以培养学生能力，促进学生发展为指导思想，遵循复习课教学原则中的系统性原则和主体性原则[1]，以学生的“学”为出发点，将“自主探究、合作交流”的学习方式贯穿于课的始终，并将评价与教师的教和学生的学有机的融为一体。实践证明，复习课中，只要教师转变观念，设计合理，组织得当，恰当的运用评价的激励与促进作用，“自主探究、合作交流”的学习方式可充分激发和调动起了学生学习的积极性和主动性，获得理想的复习效果。

参考资料:

一元一次方程组篇7

这篇九年级数学上册期末单元测试题的文章，是

一．选择题1．方程组 ，由② ①，得正确的方程是（） A .　 B .　 C .　 D .　 2．若方程组 的解是 则方程组 的解是 B． 　C． D． 3．刘刚同学买了两种不同的贺卡共 8 张，单价分别是 1 元和 2 元，共用 10 元．设刘刚买的两种贺卡分别为 张， 张，则下面的方程组正确的是（） A． B． C． 　D． 4．已知代数式 与 是同类项，那么 的值分别是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．二元一次方程3a+b=9在正整数范围内的解的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．36．若方程组 的解互为相反数，则m的值等于（ ）A．－7 B．10 C．－10 D．－127．以 为解的二元一次方程组是（ ）A． B． C． D． 8．某班共有学生49人.一天，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半.若设该班男生人数为x，女生人数为y，则下列方程组中，能正确计算出x、y的是（ ）A． B． C． D． 9．解以下两个方程组，较为简便的是（ ）① ② A．①②均用代入法 B．①②均用加减法C．①用代入法②用加减法 D．①用加减法②用代入法10． 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图－ 1 ，图－ 2 ．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 的系数与相应的常数项．把图 1 所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是 类似地，图 2 所示的算筹图我们可以表述为（　） A． B． C． D． 二．填空题1．根据下图提供的信息，求出每支网球拍的单价为 元，每支乒乓球拍的单价为　元． 　 200 元　 160 元 2．若 是二元一次方程ax+by=2的一个解，则2a－b－6的值是_________。3．若一个二元一次方程的一个解为 ，则这个方程可以是：（只要求写出一个）． 4．请写出一个以 为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件： ① 由两个二元一次方程组成 ② 方程组的解为 这样的方程组可以是 ． 5．若方程 ， 和 有公共解，则 的取值为 ．6．方程组 的解是 ． 7．若方程(2m－6)x|n|－1+(n+2)y =1是二元一次方程，则m=_________，n=__________。8．三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们 不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 9．商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，据图的信息，当有 10 张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是 ． 10．古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的．驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所驮货物的袋数是 。三．解答题1．计算（1）解方程组 （2）解方程组： 2．今年五月二十七日，印尼中爪哇省发生强烈地震，给当地人民造成巨大的经济损失．某学校积极组织捐款支援灾区，初三（ 1 ）班 55 名同学共捐款 274 元，捐款情况如右表．表中捐款 2 元和 5 元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你帮助确定表中数据，并说明理由． 3．小英和小强相约一起去某超市购买他们看中的随身听和书包．你能根据他们的对话内容（如图），求出他们看中的随身听和书包单价各是多少元吗？ 4．下图是按一定规律排列的方程组集合和它们解的集合的对应关系图： 若方程组集合中的方程组自上而下依次记作方程组 1 、方程组 2 、方程组 3 、 、方程组 ． （ 1 ）将方程组 1 的解填入上图中； （ 2 ）请依据方程组和它的解变化的规律，将方程组 和它的解直接填入集合图中； （ 3 ）若方程组 的解是 ，求 的值；并判断该方程组是否符合（ 2 ）中的规律？ 5．团体购买公园门票票价如下： 购票人数1～5051～100100人以上 每人门票（元）13元11元9元 今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于50人，乙团人数不超过100人.若分别购票，两团共计应付门票费1392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080元．(1)请你判断乙团的人数是否也少于50人．(2)求甲、乙两旅行团各有多少人？山东省枣庄市峄城区城郊中学 附答案：一．选择题1．B 2．A 3．D 4．A 5．C 6．C 7．C 8．D 9．C 10．A二．填空题1． 80 ， 40 2．-4 3． （只要符合题意即可，答案不） 4．答案不，如： 5．1 6． 7． m =-3，n=2 8． 9．50 10．5三．解答题1．（1）解：①＋②，得 ． ． 把 代入 ①，得 ． ． 　 原方程组的解是 （2）解：① 得： 　③ ② ③得： 把 代入①得： 所以 2．解：设捐款 2 元和 5 元的学生人数分别为 人， 人，依题意得： 解方程组，得 答：捐款 2 元的有 4 人，捐款 5 元的有 38 人．

一元一次方程组篇8

关键词：虚拟手术；碰撞检测；边界元模型

中图分类号：TP391.9 文献标识码：A

1 引言

虚拟手术是虚拟现实技术在医学领域的重要应用。在虚拟手术系统的研发方面，世界各国都已经取得了很大的进展，但系统的实时性与真实感之间的矛盾仍然是研究中存在的主要问题。总体看说，虚拟手术技术已经得到了比较广泛的应用，目前许多研究机构逐渐退出了比较成熟的虚拟手术系统，但是由于某些相关技术难点有待解决，以及开发成本较高等问题，使得大多数虚拟手术系统只是应用于教学、演示等方面，难以满足临床应用的需求。

碰撞检测是虚拟手术中的一项关键技术，存在于虚拟手术的整个过程。虚拟手术中所涉及到的研究对象大体可分为刚体组织和软件组织两类。骨骼、医疗器械等在手术中不产生弹性形变的物体属于刚体组织，除骨骼之外的大部分人体器官，如血管、肌肉、内脏等可产生弹性形变的属于软体组织。由于人体器官组织比较复杂，软体组织的形变计算不但会影响虚拟手术的真实感，而且还制约着系统的实时性。目前虚拟手术仿真模型的建模主要包括质点弹簧建模法和有限元建模法两种方法。质点弹簧模型容易实现，但是变形精度比较差，计算模型不很稳定容易产生较大误差。有限元法可以精确地模拟具有物理意义的物体形变，但求解过程非常复杂，很难达到手术仿真的实时性的要求。

2 基于线弹性理论的边界元模型

针对人体组织的材料特性，本文提出了基于线弹性理论的边界元模型。首先对整个场景空间进行剖分，在剖分网格中构建层次包围盒，包围盒相交时再进行精确相交检测。碰撞引起组织形变时，在几何模型的边界上构建线弹性积分方程，求解结果的离散量反映了碰撞单元区域的形变量。该算法计算精度高、速度快，能够很好的解决虚拟手术中真实感和实时性之间的矛盾。

对整个虚拟手术的场景空间递归的剖分成若干个网格单元，采用八叉树表示法存储。在剖分网格中构建层次包围盒。相对于单纯的层次包围盒技术，该方法构建的层次树规模更小，计算量更少。然后针对人体组织的材料特性，构建基于线弹性理论的边界元模型。碰撞引起组织形变时，在几何模型的边界上构建线弹性积分方程。方程组通过离散化之后只有边界上的节点存在未知量，有利于加快计算速度，提高计算效率。基于边界元模型的碰撞检测算法在保证系统真实感的前提下，可有效减少冗余检测次数，降低计算复杂度，提高碰撞检测的速度，满足虚拟手术的实时性。

2.1 空间剖分

整个虚拟手术场景递归的分割成若干个网格单元。采用八叉树表示法进行存储，八叉树的根节点定义为包含整个场景空间的立方体，立方体相互垂直的三条边分别与坐标系的x，y，z轴平行。用平行于坐标平面的三个面将立方体平均分割为8个小立方体，生成8个子节点，分割过程递归进行，直至达到指定的剖分层数为止，树的每个叶节点都包含有限个基本的几何元素。

在八叉树的叶节点上，对于包含的几何元素建立层次包围盒（Bounding Volume Hierarchy，BVH），即包围盒层次树。层次树向下逐层分裂，直到每个叶节点表示一个基本几何元素。相对于单纯的层次包围盒技术，使用层次包围盒与空间剖分相结合的方法构建的层次树规模小，计算量少，能够有效的进行碰撞检测。如图1所示。

碰撞检测算法从八叉树的根节点开始，如果两个几何元素分别属于两个不同的节点则元素不会相交，如果两个几何元素属于同一节点，则需要递归到下一级节点进行检查。直到两个基本几何元素属于同一叶节点，则计算各自所在的包围盒是否相交。包围盒不相交则两个几何元素一定不相交；包围盒相交，则需要进行精确相交检测，以判断两个几何元素是否相交。

2.2 边界元模型

针对虚拟手术仿真系统的要求，尤其是对于人体组织碰撞变形的仿真，采用基于线弹性理论的边界元法模型。线弹性物体具有线性相关的力学特性，在方向不变的力的作用下，物体的运动轨迹为直线。在几何方程的应变与位移的关系方面，在物理方程的应力与应变的关系方面，在变形前状态的平衡方程方面都体现出了线性的关系。因此线弹性模型经常被应用于实时性要求较高的虚拟手术系统中。

边界元法（Boundary Element Method，

BEM）又称为边界积分方程法，是继有限元法之后发展起来的一种工程数值计算方法。有限元法的基本思想是在连续体域内划分单元，而边界元法的基本思想是用边界上的积分方程来代替问题的控制方程，利用边界上的有限个单元对积分方程进行离散求解。离散化之后的方程组的未知量只出现在沿边界的节点上，从而降低了待求解方程的维数，减少了计算量。另外，问题的基本解具有解析与离散相结合的特点，能够提高计算精度。

3 研究方案

首先获取医学数据，进行人体组织模型的重建，在保证真实感的前提下对表面模型进行简化，建立符合要求的几何建模，对于人体组织模型中的刚体组织和软体组织进行不同方式的建模，针对软体组织建立基于边界元的模型，便于进行碰撞检测和弹性形变的处理。

整个虚拟手术的场景空间递归的剖分成若干个网格单元，用八叉树表示法存储网格单元，在网格单元构建包围盒层次树，层次树的每个节点构建包围盒。碰撞检测算法执行时从树的根节点开始，当两几何元素属于同一网格单元时，进一步对包围盒进行检查。如果两个基本几何元素所在的包围盒相交，则需要进行精确相交检测。

碰撞响应用于处理组织碰撞后引起的形变问题，采用基于线弹性理论的边界元模型，首先将连续的求解区域离散化为有限个组合体，每个组合体包含按一定方式相互联结在一起的多个单元。在每个区域内部构建线弹性模型。单元区域的控制方程由边界上的积分方程表示，引入位移边界条件和力边界条件，得到关于位移的方程组，利用边界上的有限个单元对积分方程进行离散求解解决组织形变问题，经离散化后的方程组只在沿模型边界上的节点含有未知量。求解结果反映了碰撞单元区域的形变量，重新建立线弹性积分方程表示形变后的几何模型。

结语

本文提出了基于空间剖分的包围盒层次树算法和基于线性弹性理论的边界元模型。将整个虚拟手术的场景空间递归的剖分成若干个网格单元，采用八叉树表示法存储。在剖分网格中构建层次包围盒。在几何模型的边界上进行单元剖分，构建线弹性积分方程，组织形变时通过边界上的有限个单元对方程进行求解，求解的离散结果反映了碰撞单元区域的形变量。基于线弹性理论的边界元模型计算精度高、速度快，能够更好的解决虚拟手术系统真实感和实时性之间的矛盾。

参考文献