解决排列组合问题的九种方法

排列组合是高中数学的重点和难点内容之一，也是求解概率问题的基础。排列组合问题不仅内容抽象、题型多样，而且解法灵活，不易掌握。解答排列组合问题时，要注意分析题型类别，抓住问题的本质，采取恰当的方法来处理问题。下面介绍求解排列组合问题的常用方法，供大家学习时参考。

一、为数不多问题枚举法

例1设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子，现将这5个球投入5个盒子，要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？

分析先选出球号和盒子号相同的两个号码，有C25种选法，再将剩余的按照球号和盒子号都不同的条件一一枚举出来，结合分步计数原理求解即可。

解从5个球中取出2个与盒子对号有C25种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三个球只有2种装法，因此总共装法数为2C25=20种。

点评对于某些难以理解的排列组合问题，由于其结果数字不是很大，且不易用公式进行运算，此时利用枚举法（尤其是树图法）将其一一列举出来，会收到意想不到的结果。

二、复杂问题分类讨论法

点评解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。

三、特殊位置（元素）优先法

例3（2012年全国大纲卷・文7）6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有（）

A.240种B.360种C.480种D.720种

分析本题可从元素进行分析，由于选手甲有特殊要求，所以可以先将甲的位置选定下来，再排剩余的5位选手的位置；亦可从位置进行分析，先从除甲以外的5个人当中选2人安排到第一个和最后一个位置，再排剩余的4个位置的人选。

解法1先排甲，有4种方法，剩余5人全排列有A55=120种，所以不同的演讲次序有4×120=480种，故答案选C。

解法2先从除甲以外的5个人当中选2人安排到第一个和最后一个位置，共有A25=20种方法，再将剩余的4人安排到中间4个位置，共有A44=24种方法，所以共有20×24=480种方法，故答案选C。

点评特殊位置优先法和特殊元素优先法是解决排列组合问题最常用、最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素。若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。

四、相邻问题捆绑法

分析将每个家庭的三个人捆在一起看成一个整体，从而9个人看成三个整体，同时考虑三个整体的排列和每个家庭内部的排列。

五、不相邻问题插空法

例55名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有（）

A.A55・A24种B.A55・A25种

C.A55・A26种D.A77-4A66种

分析先排5个大人，再在大人中间的4个空隙中选2个将两个小孩安排进去。

解先排5个大人，有A55种排法；再排小孩，有A24种排法（插空法）。故有A24・A55种不同的排法，所以答案选A。

点评对于互不相邻问题，先排不受限制的元素，再把要求不相邻的元素插入这些元素的空间中，从而实现排列目标，这种方法就是插空法。它是解决元素不相邻问题的基本方法。

六、正难则反间接法

例6（2012山东省烟台市二模）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门相同的选法种数为_____（用数字作答）。

分析本题若从正面直接分类较为复杂，而其反面情况较少，于是可将甲乙两人所有的选法，减去两人所选两门都不同的选法。

解可先求出所有两人各选修2门的种数C24C24=36，再求出两人所选两门都不同的种数均为C24C22=6，故至少有1门相同的选法有36-6=30种。

点评从正面直接计算不复杂时就直接进行计算，若直接计算情况较为复杂时，可以先不考虑题设条件的限制求出方法数，再减去不符合条件的方法数即可求解，这就是间接法。这种思维方法在解题中有着广泛的应用。间接法主要适用于“至少”“至多”“并非”等类型的排列组合问题。

七、元素相同隔板法

例7有10个运动员名额，分给某校的高三7个班，每班至少一个名额，则不同的分配方案共有____种。

分析因为10个名额没有差别，欲将其分成7份，每份至少一个，可将它们排成一排，形成11个空隙，在中间9个空隙中选出6个插入6块隔板把它们隔开，即可把名额分成7个部分，对应分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法，如下图所示。

解从9个空隙中选出6个插入6块隔板，共有C69=84种选法，故共有84种不同的分配方案。

点评相同元素的分配问题往往采取隔板法来处理。一般地，将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数），每份至少一个元素，可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为Cm-1n-1。

八、顺序固定问题作除法

例8若把组成下列单词中的每个字母作各种排列，恰好有420种排法的单词是（）

A.trousersB.successC.streetD.friend

分析因为相同的字母之间的排列与顺序无关，所以可先进行全排，再除以定序元素的全排，就可求出各选项中所含字母的排法。

解选项A中的排法为：A88A22A22=10 080种；选项B中排法为：A77A22A33=420种；选项C中排法为A66A22A22=180种；选项D中排法为：A77=5 040种。故答案选B。

点评解决某些元素位置固定的情况的一般思路是：先不考虑元素的限制，求出结果除以受限制元素的全排列数。本题中排列时相同字母之间是没有顺序的，可以看成固定顺序问题，利用这种相除法避免了分类带来的麻烦。

九、多排问题单排法

例98人排成前后两排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少种不同的排法？

分析原题可以转化为8个人排成一排，其中甲乙必须排在前4个位置中，而丙必须排在后4个位置中。

解8人排前后两排，相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排。先排前4个位置的特殊元素甲乙有A24种，再排后4个位置上的特殊元素丙有A14种，其余的5人在5个位置上任意排列有A55种，则共有A24A14A55种。

点评一般地，若把n个元素排成m排排列（n，m为正整数），可把每排首尾排成一排，对应每排的特殊要求，再分段考虑特殊元素，然后对其余元素作统一安排。

（作者单位：江苏省仪征市南京师范大学第二附属高级中学）