求解排列组合问题的多种方法

排列、组合是高中数学中的一个难点，这是因为这部分知识内容独立，要求具有较高的思维能力，并且题型种类繁多，常常会因为考虑不周，导致重复或遗漏的出现，而且这种错误还难以检验.为此下面向大家介绍求解排列、组合问题常用的一些行之有效的方法，可以有效地防止错误的出现.

一、优先考虑特殊元素

例1 6名同学站成一排，其中甲、乙两位同学既不站排头也不站排尾，有多少种不同的站法？

解析：因为甲、乙两位同学是特殊元素，他们既不站排头也不站排尾，则他们只能站在中间的四个位置上，因此有A24种方法，其他位置由余下的4人去站，有A44种方法，因此共有方法n=A24A44= 288（种）.

二、优先考虑特殊位置

例2 同例1.

解析：排头与排尾是两个特殊位置.甲、乙两人不能站，那么只能由其余4人中选2人去站，有A24种方法，其他4个位置由余下的四人去站，有A44种方法，因此共有n=A24A44=288（种）.

三、正确分类谨防重复

例3 写有0、2、4、6、8的5张卡片，如果6允许作9使用，那么从中抽取3张可组成多少个不同的三位数？

解析：符合条件中的取法可分为四类：（1）选0不选6，由于0不能排首位，则应排在后两位之一，故可组成三位数A12A23=12（个）；（2）选0且选6，则应再选一张卡片.由于0不能排在首位，且6可以作为9使用，故可组成3位数2C13A12A22=24（个）；（3）不选0选6，由于6可作为9使用，可组成3位数2C23A33=36（个）；（4）0、6都不选，可组成三位数A33=6（个）.因此符合条件的3位数共有n=A12A23+2C13A12A22+2C23A33+A33= 78（个）.

四、恰当分步以防遗漏

例4 从6双不同的手套中任取4只，其中恰有2只配成一双的取法有多少种？

分析：该事件可分四步来完成：（1）从6双中取1双，有C16种方法；（2）从余下的5双中取2双，有C25种方法；（3）从取出的2双中的1双中取1只，有C12种方法；（4）从取出的2双中的1双中取1只，有C12种方法.因此共有方法n=C16C25C12C12=240（种）.

五、排列方阵处理直排

例5 9人排成3行，每行3人，其中3人要排在同一行，有多少种不同的排法？

解析：9人排成3 × 3型方阵，为方便可把每行的后2人拉上来与每行的第一人并列，这样就成了9人排一列的排列.前3人称为第一行，中间3人称为第二行，后面3人称为第三行，即

× × × × × × × × ×

从3行中任取1行共要排在1行的3人，排列有C13A33种方法，余下的6人排6个位置有A66种方法，因此符合条件的排法n=C13A33A66= 12960（种）

六、不相邻元素插空档

例6 3人坐在8个座位的长椅上，若每人左右都有空位，这种坐法有多少种？

解析：要求3人左右都要有空位，那么这3人只能在由5个空位所形成的4个空挡之中，故有坐法n=A34= 24（种）.

七、相邻元素合并变大

例7 一排长椅上有10个座位，现有4人坐于其上，问恰好有5个连续空位的坐法有多少种？

解析：把5个连续空位看成一个大元素a，另一个空位为元素b，并设4人为c、d、e、f，则问题化为6个元素的排列，其中a、b不能相邻，因此a、b只能排在由c、d、e、f排列后所形成的3个空档及左、右两端的5个位置，故共有坐法n =A44A25 = 480（种）.

八、机会相等采用等分

例8 从7个元素a 、b、c、d、e、f、g中选取5个排成一排，其中a在b的前面，也在c的前面的排法有多少种？其中a在b的前面且b又在c的前面的排法有多少种？

解析：据题意a、b、c必须选上，另两个元素从d、e、f、g中选，有C24种方法.如果没有限制条件，含a、b、c5个元素的全排列有A55种.另外a、b、c的位置关系只有3种可能：（1）a在b、c前面；（2）b在a、c前面；（3）c在a、b前面.所以a在b、c前面的排法占整个排法的1 3，故符合条件的排法n=13C24A55= 240（种）.

同理，a在b前面而且b又在c前面的排法占整个排法的16，故这时符合条件的排法n=16C24A55= 120（种）.

九、元素均分组去重复

例9 把6本不同的书平均分成3堆，每堆两本，有多少种分法？

解析：若把6本不同的书平均分成甲、乙、丙三堆，有C26C24C22种方法.设把6本不同的书平均分成三堆有x种分法，对于每一

种分法，三堆以甲、乙、丙命名有A33种分法，所以x·A33=C26C24C22，因此x =C26C24C22A33= 15（种）.

十、直接不易间接排除

例10 一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中有两个空位相邻，另一个空位与这两个空位不相邻，有多少种不同的坐法？

解析：7个座位4人坐，有A47种坐法，其中不符合题意的坐法有两类：（1） 3个空位相邻，把它们看成大元素，有A55种不同的坐法；（2） 3个空位彼此不相邻，那么3个空位只能插入由4人坐一排而形成的5个空挡中的3个，有A44C35种方法，所以n =A47-A55-A44C35=480（种）.

十一、构造集合元素分类

例11 车间有9个工人，有4人只会车工，有3人只会钳工，有2人既会车工又会钳工.现从中选派车工、钳工各2人去完成某一任务，有多少种指派方法？

解析：设会钳工的工人构成集合A，会车工的工人构成集合B，那么既会钳工又会车工的工人即为A∩B，于是指派方法可分为三类：（1）在集合A中派只会钳工的工人2人，在集合B中派2人当车工，有C23C26种方法；（2） 在集合A中派只会钳工的工人1人，在集合A∩B中派1人作为钳工，再在集合B剩余的5人中派2人当车工，有C13C12C25种方法；（3）在集合A∩B中派2人作为钳工，在集合B余下的4人中派2人当车工，有C22C24种方法.因此不同的指派方法n=C23C26+C13C12C25+C22C24= 111（种）.

安徽省灵璧县黄湾中学（234213）