基于COMSOL Multiphysics的有限元仿真模拟在《理论声学》教学中的应用:缺陷态的分析

摘 要：文章探讨了计算机仿真模拟在《理论声学》教学中的应用。以缺陷态的分析为例，基于COMSOL Multiphysics有限元软件的仿真模拟，我们提出了色散计算与本征模态分析相结合的教学模式。这种基于仿真模拟的教学模式有利于抽象概念的形象化，具有较好的教学效果。

关键词：计算机仿真教学；多物理有限元模拟；缺陷态

1 概述

声子晶体是物理类专业研究生课程《理论声学》中非常重要的一块教学内容。在声子晶体中引入缺陷将导致缺陷态、波导态以及界面态等本征模态的出现。如何有效计算缺陷声子晶体的色散关系并对这些模态进行本征分析是教学中的一大难点。比如，学生通常很难从一般的色散计算结果中有效地区分波导态以及界面态。文章提出在教学中引入计算机仿真模拟[1-3]，利用基于COMSOL Multiphysics软件的有限元方法数值计算缺陷声子晶体的色散关系。在这种全矢量的色散计算方式中，学生能很方便的调取所有模态的本征信息，从而能全面而精准地掌握缺陷声子晶体丰富多彩的色散性质，具有较好的教学效果。

2 有限元仿真教学模式的设计

以铁柱四方排列在空气中形成的二维声子晶体为例。声子晶体的填充率被设定为0.577。通过在晶体中沿着X方向移除一排铁柱，从而引入一条沿X方向的线缺陷。利用基于COMSOL Multiphysics软件的有限元方法，我们数值计算了该缺陷声子晶体结构的色散关系。

图1给出了计算所得归一化频率介于0到1之间的带结构，其中阴影部分代表没有缺陷的完美声子晶体的X方向投影带结构。此处我们采用的是超胞算法，图1中右下插图给出了计算中所用的超胞结构示意图；在求解过程中选取的边界条件为Floquet periodicity边界条件。

计算中所用材料参数为：

铁的密度=7.67×103kg/m3

纵波波速Cl=6.01×103m/s

横波波速Ct=3.32×103m/s

空气的密度=1.29×10-3kg/m3

纵波波速C=0.34×103m/s

从图1中我们可以很清晰的看到，在声子晶体的完全带隙中（频率大约介于0.4和0.7之间）出现了三条导带，分别被标记为带1、带2以及带3。很明显，这三条位导带位于完整声子晶体的带隙频率范围内，其产生的机理一定与晶体中线缺陷结构的引入有关。根据作者多年教学的经验，大多数学生此时很容易先入为主地做出判断，认为带1、带2以及带3均为由缺陷引入的波导态。事实上，在这三条带中，带2和带3是波导态，而带1则是与缺陷结构引入的表面所对应的表面态。在传统的教学中，声子晶体的带结构通常由多重散射或者时域有限差分法计算得出，而这两种方法一般很难在最终计算结果中保留所有模式的本征信息，于是进一步向学生分析这三条导带的本征性质变得比较困难。

文章中图1的色散关系由基于COMSOL Multiphysics软件的有限元方法，这款软件在计算中保留了所有模式的本征信息并且能够非常方面的调出分析，从而进一步确定每种模式对应的物理图像。

在此我们提出如下教学思路：首先，通过计算具有不同缺陷尺寸声子晶体带结构的方式向学生展示图1中带1、带2以及带3随缺陷尺寸的变化趋势，所计算结果由图2（a）表示。

图2（a）中不同形状的数据点代表具有不同缺陷尺寸的声子晶体结构，从该图可以看出，随着缺陷尺寸的改变，带2和带3的位置变化非常明显，而带1的位置几乎不变。

这说明带2和带3与缺陷性质密切相关（由此我们推断带2和带3是线缺陷中的波导态），但带1和缺陷的关系并不大；其次，通过在图1中引入水线（此处即为空气中的声速线，由图中直线表示）不难发现，带1始终位于体系水线以外，这说明带1中的模式在空气中始终是衰逝的，考虑到这些模式同时也在晶体内衰逝（因为带1位于晶体的带隙范围内），我们不难推断出带1其实是与缺陷两侧晶体表面所对应的表面态。

根据作者的教学经验，通常分析到这一步时，学生已经对这三条导带的性质有了一个较为清楚的认识；接着，我们调出COMSOL Multiphysics中保存的本征模式形态以便于学生对以上分析结果形成感性认识。

图2（b）和（c）分别给出了带3和带2上任意一点在缺陷中的本征声压分布，至此我们不难看出，带3和带2分别对应着波导模式中的对称以及反对称模式[4]；最后，为了进一步形象化以上讨论结果，我们从带1、带2以及带3中各自选取一个频率，将工作在这三个频率下的点源分别放置在由图3（a）、（b）、（c）所示的体系中，我们利用COMSOL Multiphysics仿真模拟了这些体系在点源激励下的声压场图。

图3（a）给出的是带1中的一个模式被点源激发出的表面波，图中点源被放置在晶体上表面的中央位置，我们可以看到带1上的模式只能沿着晶体表面传播，在垂直晶体表面方向声场能量迅速衰减，表现出很明显的表面波形态[5，6]。

图3（b）给出的是带2中一个模式被点源激励的情形，图中点源被放置在波导结构的左端口，由于带2对应的是反对称模式无法被外部点源激发，我们看到波导内部几乎没有激发出任何波动。

图3（c）给出的是带3中一个模式被点源激励的情形，同样图中点源被放置在波导结构的左端口，由于带3对应的是对称模式可以被外部点源很好的激发，我们看到波导内部激发产生了非常好的传播模式。

以上的数值模拟声场分布和我们前面的分析完全吻合，能够使学生对本节教学内容产生非常形象的认识，从而加深他们对声子晶体缺陷态这一知识难点的理解和掌握。

3 结束语

计算机仿真教学是一项面向未来的现代化教学方式，在培养学生科学研究的兴趣方面起着非常重要的作用。文章基于COMSOL Multiphysics有限元物理仿真软件，以《理论声学》课程中声子晶体缺陷态这一教学难点为例，探讨了仿真模拟教学在缺陷态色散关系计算以及本征态模式分析等方面的应用。通过将原本难于理解的概念化为仿真结果生动形象的展现，得到了较好的教学效果。

参考文献

[1]邢敏，黄岚.计算机模拟仿真教学的研究与实践[J].现代教育科学，2007，1：152.

[2]丘锡彬，唐昌建.基于计算机模拟技术的现代物理学教学研究[J].高等理科教育，2010，6：74.

[3]盛胜我.有限元法在声学中的应用[J].声学技术，1988，7：34.

[4]J. H. Sun， and T. T. Wu， Analyses of mode coupling in joined parallel phononic crystal waveguides， Phys. Rev. B，2005，71：174303.

[5]D. Zhao， Z. Liu， C. Qiu， Z. J. He， F. Cai， and M. Ke， Surface acoustic waves in two-dimensional phononic crystals： Dispersion relation and the eigenfield distribution of surface modes， Phys. Rev. B，2007，76：144301.

[6]H. Jia， M. Ke， Z. J. He， S. S. Peng， G. Q. Liu， X. F. Mei， and Z.Liu， Experimental demonstration of surface acoustic waves in two-dimensional phononic crystals with fluid background， J. Appl. Phys，2009，106.

作者简介：邓科（1978-），男，湖南湘潭人，博士，副教授，从事凝聚态物理研究工作。