基于小波变换的图像去噪方法的研究与实现

摘 要： 本文将小波阈值去噪与维纳滤波结合起来，在小波域进行维纳滤波。为了完成估计和去噪两个任务，我们设计了双小波基维纳滤波器，采用两路小波变换。我们采用构造的调节阈值函数作为第一路小波滤波器，克服了硬阈值法产生的伪吉布斯效应和软阈值法产生的边缘模糊等失真现象，在有效去噪的同时很好地保留了图象边缘等局部特征。

关键词： 图像去噪 小波变换 小波阈值去噪 维纳滤波

1 引言

噪声是影响图像质量的重要因素。噪声的存在导致图像的某些特征细节不能被辨识，图像信噪比下降。在图像处理中如何有效地去除噪声，提取图像信息变得尤为重要，而基于小波变换的去噪方法得到越来越广泛的研究和应用。小波域去噪是根据信号和噪声小波变换的不同表现形态，构造出相应的规则，对信号和噪声的小波变换系数进行处理，处理的实质在于减小以至完全剔除由噪声产生的系数，同时最大限度地保留有效信号对应的小波系数。

由于维纳滤波器是一种最佳线性过滤器，即维纳滤波是根据信号的自相关函数，在均方误差最小的意义下对输入信号作出最优估计。因此本文将小波阈值去噪与维纳滤波结合起来，在小波域进行维纳滤波。

2 构造调节阈值函数

软硬阈值方法虽然在实际中得到了广泛的应用，也取得了较好的效果，但它们本身存在着的缺点。在硬阈值方法中，信号f(i)离散采样后的小波系数为Wf(j，k)，记w =Wf(j，k)，而w 的估计在λ和-λ处是不连续的，边缘信息保留较好但去噪效果不佳；而在软阈值方法中，虽然整体连续性好，去噪效果明显，但与w 之间总存在着恒定的偏差，边缘损失较大，影响了重构精度。由于软阈值函数在w ≥λ时的作用相当于对小波系数进行加权处理，以达到光滑图像的目的，所以把这种偏差减小到零未必最好，关键要使-w 尽可能小，并且软阈值函数的导数不连续，而在实际应用中经常要对一阶导数甚至是高阶导数进行运算处理，所以它具有一定的局限性。为了克服软硬阈值方法的缺点，这里构造了调节阈值函数：

=w 1- ?摇，w ?摇≥λ 0 ?摇?摇?摇?摇?摇，w ?摇＜λ(1)

其中n为任意正常数。

调节阈值函数是介于软硬函数之间的一个灵活选择，可以通过变化n的取值，得到实用有效的阈值函数，既能有效地去噪又能很好地保留边界信息。

3 维纳滤波

从含噪信号f输入到估计值 输出，可以写成

=W HWf(4)

滤波器H被定义为:在小波变换域上完成一个对角滤波过程，即

其中，h(i)就是“硬阈值化”或“软阈值化”的具体实现。

对于维纳滤波器，令s通过滤波器G所得到的估计值 =Gs；当G就是维纳滤波时，可使均方误差(MSE)最小。

维纳滤波器定义为:

其中R =E(ss )，为N×N矩阵;I是单位矩阵，σ 是噪声信号的方差。

在小波变换域上对角化的维纳滤波器系数为:

式中，θ（i）是观测值的最好估计值。

4 调节阈值与维纳滤波相结合

4.1 真实信号θ（i）的估计

在小波域上，根据(7)式设计维纳滤波器为:

可见h (i)涉及真实信号θ (i)的估计和噪声方差σ 的估计。在小波变换域，θ(i)是真实信号的小波系数， (i)是真实信号小波系数的估计值。

由(7)式，当θ (i)＞σ 时，h (i)≈1，即h (i)相当于硬阈值法的权重系数;当θ (i)≤σ 时，h (i)≤ 并且h (i)随着θ (i)的减小而减小。因此对于维纳滤波的均方误差:

当时θ (i)=0，第i个信号分量的变换对MSE 无贡献，当θ (i)∞时，则产生最大的误差分量，相当于硬阈值量化。

考虑到调节阈值函数有效去噪的能力以及能够较好保留边界信息，因此我们可以用它对原始信号进行过滤，从而得到后面维纳滤波所需要的小波系数估计值。

令N 为使(10)式成立的真实小波系数θ(i)的信号长度，它对应相对较大的小波系数;而N =N -N 为小波系数绝对值小于阈值的信号长度

在调节阈值函数中我们取n=2，阈值λ=σ ，σ为噪声信号的偏差，N为信号长度，也就是细节信号的采样数。根据(8)式和(10)式

化简后得到θ(i)的估计为:

其中 = Med(｜w ｜)，w 是f(i)离散采样后的小波系数，Med(g)为中值函数。

这里我们实际上是用调节阈值函数的方法作为对θ(i)的估计，下面通过建立双小波基维纳滤波器将该估计值运用到维纳滤波中。

4.2 双小波基维纳滤波器的设计

为了实现对θ (i)的估计，并对信号f(i)进行去噪，我们设计了双小波基的维纳滤波器，其去噪流程如图2所示:

采用两种不同的小波基W 和W ;这里的H采用前面提到的调节阈值函数;是建立在小波变换域W 上的维纳滤波器。首先在小波域W 中通过调节阈值函数H去噪，我们可以得到对真实信号s的估计，而这种估计是以N 个可信小波系数为基础的，但是对N 个小波系数预测得并不充分;为了获得对信号更全面的估计，我们将得到的在小波域W 再次变换得到新估计值

通过算子W W，在W 小波域延伸和扩展了估计值中N 个可信小波系数，保证在W 域内被阈值函数置零的系数在W 域内得以部分恢复，使得新估计值中具有数目更多的非零系数，降低了去噪误差。如果两小波基相同，就相当于前面讲的调节阈值函数去噪。

在W 小波变换域上维纳滤波器系数为

如何选择W 和W 的小波基函数?一般来说，凡是适合做小波收缩的小波基都可以;常用的是双正交紧支小波。而小波的正则性对图像重构具有非常重要的意义，因为存在量化误差的小波系数用正则性高的综合小波重构后，失真

比较平滑，视觉效果好。

5 实验结果及分析

本实验采用Visual C++6.0语言设计，编译生成AviSynth的VagueDenoiser。dll滤镜，通过调用自带的VagueDenoiser函数实现降噪目的。双小波基维纳滤波器中的W 使用 Cohen-Daubechies-Feauveau9/7小波，W 使用Villasenor-Belz er-Liao 6/10小波。

5.2 Lena图像实验结果分析

从图3到图14可以看出硬阈值方法处理后的图像仍保留了明显的噪声信号;软阈值方法处理后的图像画面柔合，但边缘模糊，特别是在噪声方差较大时已很不清晰;而调节阈值与维纳滤波相结合的方法达到了较好的视觉效果;同时从表1看出改进的方法对具有不同噪声方差的图像处理都能够获得相对较高的信噪比。

6 结论与讨论

本章提出了将调节阈值与维纳滤波结合去噪的新方法。即在W 小波域用调节阈值函数对原始信号进行过滤，得到对真实信号的估计，并将该估计值在W 小波域进行延伸和扩展，从而构造出维纳滤波器系数，原始信号经过W 在小波域上的维纳滤波器过滤实现降噪的目的。实验结果表明，该方法能获得较好的视觉效果，降低了去噪误差，提高了PSNR。

参考文献：

［1］［美］崔锦泰.小波分析导论.西安交通大学出版社，1995.

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［4］Johnstone I M，Silverman B-W.Wavelet threshold estimators for data with correlated noise［J］.Journal of royal statistics society series(B)，1997， 59:319-351.

［5］Vidakovic B，Lozoya C B.On time-dependent wavelet denoising［J］.IEEE Trans.Signal Processing.1998，46(9):2549-2551.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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