浅谈类比推理在数学解题中的应用

【摘 要】类比推理已经成为初高中数学中越来越热门的考点，既考查学生的研究能力，同时也考察学生的发散思维和逻辑推理能力。对于一些疑难问题的解决有着事半功倍的作用。本文通过一些具体例题来体现类比推理的应用。

【关键词】类比；类比思想；推理过程

一、类比推理

类比是根据两个数学对象的一些属性相同或相似，猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法，它通常称为类比法。它是以比较为基础，通过对两个（或两类）不同的对象进行比较，找出它们的相同点或相似点，然后以此为依据，将关于某一些知识或结论推移到另一种对象中去。其结论的可靠程度依赖于两个研究对象的共同属性，一般说来，共有属性愈多，结论的可靠程度就愈大。类比既是一种逻辑方法又是一种科学研究的方法，它是人们思考问题和处理问题的重要手段，是发明创造的一把金钥匙。

类比分为简单类比和复杂类比两类。简单类比是一种形式性类比，它具有明显性、直接性的特征，其模式为

复杂类比是一种是实质性类比，需要用过较为深入的分析后才能得出新的猜测，其模式为

类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其正确性，还必须经过严格的逻辑论证。运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下：

二、类比推理的应用

类比思维在数学知识的延伸拓展过程中常借助于比较、联想，用作启发诱导以寻求思维的变异和发散。在数学学习中，我们可以通过类比学习新知识，也可以通过类比来寻求解题思路，甚至通过类比来推广数学命题。利用类比法，可使我们的思维能力、观察能力得到良好的锻炼。下面我们从数学解题的角度来谈谈类比法的应用。

1.平面几何与立体几何的类比

有些立体几何问题的解决可类比于平面几何问题解决的思路方法，有时可简化运算与推理，优化解题过程.

【例1】如图1，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（于四个面都相切的球）的球心O，且与BC、DC分别截于E、F，如过截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A―BEFD与三棱锥A―EFC的表面积分别为S1，S2，则必有（ ）

（A） S1>S2（B）S1

（D）S1与S2的大小关系不能确定

图1 图2

分析：本题是立体几何问题，将立体中的有关图形、有关量与平面相应的元素进行类比：

空间 平面

三棱锥 三角形

三棱锥的内切球 三角形的内接圆

三棱锥的表面积 三角形的周长

三棱锥的体积 三角形的面积

由此可得到平面几何中相应的问题：

如图2，在ABC中，直线EF经过其内切圆的圆心O，且与AB、AC分别交于E、F，如果线段EF将ABC分成面积相等的两部分，设AEF与四边形EBCF的周长分别为L1、L2，求L1、L2关系。

设内切圆半径为r，将四边形BCEF分割为EOB、BOC、COF三部分， 将AEF分割为AOE、AOF，则：

SEOB+SBOC+SCOF=SAOE+SAOF

（BE+BC+CE）r=（AE+AF）r，

AE+AF=BE+BC+CE

由此得L1=L2，由类比思维可以猜想例1中的 S1=S2 ，其思路与相应的平面几何问题相仿，即将四棱锥A-BEFD分割为O-ABD，O-ABE，O-ADF与O-BEFD四部分，而将三棱锥A-EFC分割为O-AEC，O-AFCO-EFC三部分，再利用两部分体积相等求解，本题答案为C。

我们也可以利用两类事物之间的相似性或一致性，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题或猜想。

2.解析几何中的类比推理

【例2】已知两个圆：X2+Y2=1①与X2+（Y-3）2=1②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，既要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 。

【分析】将题设中所给出的特殊方程①、②推广归纳到一般情况：

设圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2③与（x-c）2+（y-d）2=r2④，其中a≠c或b≠d，则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程。

评注：本题通过类比推广，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。

3.数列中的类比推理

【例3】定义等和数列：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列{an}，是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18的值为 ，这个数列的前n项和Sn的计算公式为 。

【分析】由等和数列的定义，易知a2n-1=2，a2n=3（n=1，2，...）故a18=3

当n为偶数时，；当n为奇数时，

评注：本题以“等和数列”为载体，解决本题的关键是课本中所学的等差数列的有关知识及其数学活动的经验，本题还考查分类讨论的数学思想方法。

4.排列组合中的类比推理

【例4】已知数列{an}（n为正整数）的首项为a1，公比为的q等比数列。

归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明。

【分析】通过大胆猜测，归纳猜想出一般性的结论：

归纳概括的结论为：若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则：

评注：本题主要考查探索能力、类比归纳能力与论证能力，突出了创新能力的考查；通过抓住问题的实质，探讨具有共同的属性，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。

三、结束语

综上所述，类比的思想在我们处理一些数学问题时的确起着十分重要的作用，我们也应该学习类比的思想，但是在利用类比的思想去处理一些问题时，我们也要注意所类比的两个事物在本质上是否是相同或相似的，不能只顾形式上的一致而忽略本质不同的问题。类比是数学中发现概念、定理、公式的重要手段，也是开拓新领域、创造新分支的重要手段，类比的关键是把两个对象之间的某种相似性确切的表达出来。类比思想有助于培养学生的灵活性、独创性、广阔性和敏捷性，值得我们研讨。

参考文献：

[1]鲍曼.数学逻辑学.哈尔滨工业大学出版社，2009.10.10

[2]朱月珍.一种特殊的数学思维方法――类比法.甘肃高师学报，2008.13.5

[3]孙卫东.浅谈类比法在数学教学中的应用.甘肃科技纵横，2006.2