分组分解法的九种技巧

分组分解法是分解因式的重要方法之一，下面举例介绍分组分解因式的九种技巧.

一、观系数，易分组

例1分解因式：3 + 2 + 2 + 2.

分析：多项式中的一、三两项，二、四两项的系数之比都为，把它们分别结合，易于分解.

解：原式=（3 + 2） + 2 + 2

=（2 + 2） + （2 + 2）

=（2 + 2）（ + 1).

二、忆公式，助分组

例2分解因式：294 + 42.

分析：多项式中的第一、三、四项结合起来恰好是完全平方公式，再运用平方差公式即可完成分解.

解：原式=（24 + 42）9

=（2）232

=（2 + 3）（ 23） .

三、看次数，利分组

例3 分解因式：2 ++ 24.

分析：把次数相同的项分别结合起来，有利于分解.

解：原式=（2 ++ 2）（ + ）4

=（ + ）23（ + ）4

=（ ++ 1）（ + 4）.

四、先展开，再分组

例4分解因式：（ + ）2 + ()2.

分析：多项式只有“两项”，且中间以“＋”号连接，若把括号展开后再分组，问题就迎刃而解了.

解：原式=22 + 2 + 22 + 222 + 22

=（22 + 22）+（22+ 22）

=2（2 + 2） + 2（2 + 2）

=（2+ 2）（2 + 2）.

五、选“主元”，巧分组

例5分解因式：225 + 22+ 75 + 3.

分析：以“ ”为主元，重新分组.

解：原式= 22+（75） + （225 + 3）

= 22 + (75) + （1）（23）

= ［2（1）］［（23）］

= （2 + 1）（2 + 3）.

六、配方后，妙分组

例6分解因式：22+ 2 + 43.

分析：将多项式分别配成关于、的完全平方式，再用平方差公式进行分解.

解：原式= （2 + 2 + 1）（24 + 4） = （ + 1）2（2）2

=（ + 1 + 2）（ + 1 + 2）

=（ + 1）（ + 3）.

七、先换元，后分组

例7 分解因式：（1）2 + （ + 2）（ + 2）.

分析：若直接展开，项数太多，不利于分解，不妨设 += ， =，再进行分组，就能化难为易.

解：设 += ， = ，则

原式=（1）2+（2）（2）

= 12 + 2＋222 + 4

=（22 + 2）（22）+ 1

= （ + ）2－2（ +）+ 1

=( + １)2 = ［（1）（1）］2

=［（1）（1）］2 = （1）2（1）2.

八、先整体，再分组

例8 分解因式：（25）(252)24.

分析：解答此题时，若先展开括号，整理后再分组，将会很麻烦.观察此题两括号内都有25，因此可把25看作一个整体，然后来解.

解：原式 = （25）［（25）2］24

= （25）2（25）24

= （256）（25 + 4）

= （6）（ +1）（4）(1).

九、添拆项，促分组

例9 分解因式：（1）4 +4.

分析：将4 +4改写成4+ 4242 + 4，然后分组分解.

解：原式= 4 + 4242+ 4 = （4 + 42 + 4）42

=（2 + 2）2（2）2 = （2 + 2 + 2）（22x + 2）.

（2）4 + 3 + 6 2+5 + 5.

分析：把62拆为2 + 52，使分组能够顺利进行.

解：原式=（4 + 3 + 2）+（52 + 5 + 5）

=2（2 ++ 1） + 5（2 ++ 1）

=（2 ++ 1）（2 + 5）.

说明：添、拆项是分解因式时常用的技巧，至于添、拆哪一项，要因题而定. 添、拆项后要进行适当分组，再用熟悉的分组分解法来解决问题.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”