谨防“边边角”陷阱

请同学们先看下面的叙述.

已知ABC为等腰三角形，BC是底边.D是BC延长线上一点.连接AD（如图1），所得 DAC和DAB显然不全等.

在DAC和DAB中，虽然AD = AD，AC = AB，∠D =∠D，而DAC与DAB不全等，也就是说，有两边及其一边的对角相等的两个三角形（简称“边边角”）不一定全等.

因此我们在判定三角形全等时，要注意“边边角”的陷阱.

例1如图2，AC与BD交于E，AD = BC，∠C =∠D，试说明：AC = BD.

错解：连接AB.

AD = BC，AB = BA， ∠C =∠D，

ABD ≌ BAC（SSA）. AC = BD.

分析：证明时，掉进了“边边角”的陷阱.

正解：在AED和BEC中，∠AED = ∠BEC，∠C = ∠D，AD = BC，

AED ≌ BEC（AAS）.

AE = BE，DE = CE.

AE + EC = BE + ED，即AC = BD.

例2如图3，在AOB的两边OA、OB上分别取OE = OD，OG = OF，DG和EF相交于点C.求证 OC平分∠AOB.

错证：在ODG和OEF中，

OG = OF，OD = OE，∠DOG =∠EOF.

ODG ≌ OEF（SAS）.∠OGD =∠OFE.

在OCG和OCF中，

OC = OC，OG = OF， ∠OGC =∠OFC.

OCG ≌ OCF（SSA）.

∠GOC =∠FOC.即OC平分∠AOB.

分析：在证明OCG ≌OCF时，应用了所谓的“边边角”定理.

证明：在ODG和OEF中，OG = OF，OD = OE，∠DOG = ∠EOF.

ODG ≌OEF（SAS）.∠OGD =∠OFE，∠ODG =∠OEF.

∠CEG =∠CDF.

又OG= OF，OD = OE， EG = OGOE = OFOD = DF.

DCF ≌ECG（ASA）.CF = CG.

则在OCG和OCF中，OC = OC，OG = OF，CF = CG.

OCG ≌ OCF（SSS）.

∠GOC =∠FOC，即OC平分∠AOB.

练习：

1.请指出下面的证明错在哪里？

如图4，已知AB = AC，AD = AE.

求证：BD = CE.

证明：AB = AC，∠B =∠C.

在ABD和ACE中，

AB = AC，AD = AE，∠B =∠C.

ABD ≌ ACE. BD = CE.

2.如图5，ACB，ECD都是等腰直角三角形，且C在AD上，AE的延长线与BD交于F. 请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.

参考答案：

1.错在利用“边边角”证ABD ≌ ACE.

2.解ACE ≌ BCD.

证明：在等腰直角三角形ACB中，AC = BC，∠ACB = 90O.

在等腰直角三角形ECD中，CD = CE，∠DCE = 90O，

在ACE和BCD中，

ACE ≌ BCD（SAS）.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”