应用数学开放题,推进教学创新

关于开放题的含义，还没有统一的界定。一般认为：数学开放题是相对传统的条件完备、答案确定的封闭题而言的，一个数学问题，如果它的条件不完备，答案不唯一，或解题思路、方法不唯一，那么，这个数学问题称为开放题。

由于开放型问题的解决，一般要通过学生去观察、尝试、类比与归纳，加上严格的推理论证，与有明确条件与结论的封闭性问题，更有利于培养学生的创造性思维。因此教学中适当设制一些开放型问题，可以培养学生思维的广阔性、灵活性和深刻性，从而培养学生的发散思维和创新能力。因此研究和探讨数学开放题的题型特点及其设制规律，对于推进和改善初中数学的开放式创新教学，无疑有极大的帮助。

一、数学开放题的特点

1、问题的条件常常是不完备的（条件开放题）

条件开放题是根据题中所给的结论要求，从不同的角度去寻

找获得解决这个结论的条件。如：在学习相似三角形判定这一

节时，我们可以设计这样的开放题：如图1，点D、E分别在ABC

的AB、AC边上，在什么条件下，ADE与ABC相似。由于

条件开放，因此所添条件不唯一，只要能使ADE与ABC相

似的条件都可以，于是学生就根据学过的知识寻找多种答案：

从角上考虑应有：∠ADE＝∠B或∠AED=∠C或∠AED＝∠B。从边上考虑应有：

＝或＝。

2、问题的答案是不确定的（结论开放题）

这类开放型是指提供一定的条件，满足条件的结论方面往往有多种答案的题型。这需要学生灵活运用所学知识，善于突破常规。进行直觉、想象、猜想、创造等活动才能解决。

如这样一道题目：请以给定的图形“、、＝”（两个圆，两个三角形，两条平等线段）为构件，尽可能多地构思独特且有意义的图形，并写出一两句贴切、诙谐的解说词。如下图就是符合要求的两个图形你还能构思出其他的图形吗？比一比，看谁想得多。

这是一道图案设计能力与空间想象能力的趣味数学题，所涉及的知识点并不难，没有确定的答案，为学生展示了很广阔的思维空间，让你驰骋，只须“按要求画图，且设计合理”都可，下面再给出几种设计：

根据题目要求，可以让学生进行讨论，还可以设计出很多不同图案，这样既能培养学生学习兴趣，也能培养学生的发散思维和创新能力。

3、问题的解决策略具有非常规性，发散性和创新性（策略开放题）

例如：试比较下面两个图形的异同，如图2，请分别写出它们的两个相同点和两个不同点，例如：

相同点：正方形的对角线相等，正五边形的对角线也相等；

不同点：正方形是中心对称图形，正五边形不是中心对称图形。

此题是考察学生正多边形的知识和有关性质，通过观察分析能从正多边形的边、角（中心角、内角和）对称性有无外接圆与内切圆，从一个顶点作三角形的个数等方面去理解，就可以写出很多相同点与不同点。

二、如何编写数学开放题

在数学课堂教学以及数学教材编写中，对于知识和能力的要求，常以封闭式的题型出现，这类题型，常要求用特殊或常规方法得到固定答案。为加强教学效果，最好把封闭问题改变为开放问题。只要把封闭问题稍加修改，那就变成更有趣，更富有挑战性的开放式的活动。教师可以打破旧的模式，将一些常规性题目改造成为不能依靠简单模仿来解决的问题。如何编写切合实际的开放题，本人认为可以从以下几个方面做：

1、减少或削弱条件，使结论多样化。

对于一个例题若减少或削弱一项或几项条件后，探求它的一般

结论可得一些开放题。

例如：已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是

等边三角形。求证：AN＝BM。

（1）现原题条件不变，CM与AN交于点D，CN与BM交于点E，

AN、BM相交于点G，连接DE，你还能得到哪些结论？至少三个，你能证明吗？

（2）把原题条件削弱为：CA＝CM，CB＝CN，∠ACM＝∠BCN，还能证明AN＝BM吗？如何证明？若三点A、B、C不在一条直线上，其余条件不变，还能证明AN＝BM吗？为什么？

（3）把原题中“等边三角形”减弱为“以AC、BC为底边的顶角相等的等腰三角形”，结论还成立吗？请说明理由。

2、保留条件，去掉结论，使结论多样化。

不少封闭性的题目，其条件充分，结论明确而单一，在很多情况下，只要隐去结论，就成为结论多样化的开放题。

例如：已知：半径不等的O1与O2相切于P，直线AB、CD都经过点P，并且AB分别与O1、O2交于A、B两点，CD分别与O1、O2将于C、D两点，（点A、B、C、D互不重合），连接AC和BD。

a）请根据题意画出图形；

b）根据你所画图形，写出一个与题设有关的正确结论，并证明这个结论。

3、在给定的条件和实际情景中，建立数学模型，寻求多种解法与结论，这是编写数学开放题的一个重要方法。

例如：星期天，数学张教师提着篮子（篮子重0.5斤）去集市买10斤鸡蛋，当张老师往篮子里拾称好的鸡蛋时，发觉比过去买10斤鸡蛋时个数少很多，于是她将鸡蛋装进篮子再让摊主一起称，共得10.55斤，即刻她要求摊主退1斤鸡蛋的钱。她是怎样知道摊主称了大约1斤鸡蛋的呢（精确到1斤）？请你将分析过程写出来，由此你受到什么启发（请用一两句话，简要叙述出来）？

4、条件变化，探求结论的多样性和变通性。

把命题中的某些条件变化，探求结论，会使学生获得理性的认识，加深对知识深度和广度的理解，可得一些开放题。

例如：顺次连接四边形ABCD各边中点E、F、G、H所得图形是平行四边形，条件中的四边形ABCD改成矩形ABCD、菱形ABCD、对角线互相垂直的四边形ABCD、对角线相等的四边形ABCD，则四边形分别是什么图形？并证明之。

5、引进变数探求结论。

把问题中的某个确定的常数换成变数，求探求变数的取值，可得一些开放题。

例如：把X2＋2x-15分解因式，将2换成m或将15换成n，可得开放性题目：要使下列二次三项式能在整数范围内因式分解，m、n分别可取哪些整数？并因式分解：

1）x2＋mx-15

2）x2+2x-n

在开放题的编制、开发中，要十分重视开放题的设问方式。语言的暗示性要恰当，防止将思维导入歧途；要把握问题的开放度，不同水平的学生应采用不同的方式，提出不同的解题要求；开放题中所包含的事件应为学生所熟悉，其内容是有趣的，是学生所愿意研究的，是通过学生现有的知识能够解决的可行的问题；要注意问题的可发展性，给学生一个提问题的机会，也许比解题本身更重要。