排列组合解题的技巧

排列组合问题历来是高中数学教学的一个难点,其思考方法独特,求解思路灵活,因而在解题中极易出现“重复”或“遗漏”的错误.虽然近几年高考将侧重点放在两个计数原理的考察上,但当对问题类型把握准确时,解答的准确性上将会有很大的提升,解答速度也会大大提高.以下介绍几类典型排列组合问题的解答技巧:

1、相邻问题捆绑法

例1 6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( )种。

A、720 B、360 C、240 D、120

解:因甲、乙两人要排在一起,故将甲乙两人捆在一起视作一人有 种排法,与其余四人进行全排列有 种排法,由乘法原理可知,共有 =240种不同排法,故选(C)。

点评:从上述解法可以看出,所谓“捆绑法”,就是对元素进行整体处理的形象化表述,体现数学中的整体思想。对于以“某些元素必须相邻”为附加条件的排列组合问题,只要把必须相邻的元素“捆”成一个整体,视作一个“大”元素,再考虑相邻元素内部的排列或组合,就能保证这些元素相邻而不散乱。

训练: 3名男教师,3名女教师,6名学生站成一排,要求男教师和女教师必须站在一起,且教师不站在两端,则一共有多少种站法?

2、相隔问题插空法

例2 排一张5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单

(1) 任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种?

(2) 舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有多少种?

解:(1)先排歌唱节目有 种,歌唱节目及两端有6个空位,从这6个空位中选4个放入舞蹈节目,共有 种方法,所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有 种。

(3)先排舞蹈节目有 种排法,在舞蹈节目和两端有5个空位,恰好供5个歌唱节目放入,所以舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有 种。

训练:若将例题当中的“4个舞蹈节目”改为“5个舞蹈节目”,求舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有多少种?

点评:从解题过程可以看出,“插”的策略是解决排列与组合中若干特殊元素互不相邻问题的常用手段。在具体操作时,可以先将其它元素排好,再将所指定的不相邻的元素“插入”到它们的间隙及两端位置,从而保证它们不相邻。

3、限定问题优限法

例3 由数字0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的四位偶数?

解:因所求是偶数,所以个位必须是0,2,4中的任何一个,又首位不能为0,所以分个位为0时有 种,个位不为0时有 种。所以共有 种。

点评:所谓“优限法”,即有限制条件的元素(或位置)在解题时优先考虑,本题对四位偶数中的个位数字有特殊要求,首位数字又不能为0,故优先考虑。

训练 本例条件不变,问题改为“求能组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数?”,应如何求解?

4、多元问题分类法

例4 三边长均为整数,且最大边长为11的三角形有多少个?

解:设三角形的另外两个边分别为x和y,且不妨设 ,要构成三角形,必有 则分类讨论如下:

当y为11时,x可以为:1,2,3,…,11,可有11个三角形;

当y为10时,x可以为:2,3,4,…,10,可有9个三角形;

当y为9时,x可以为:3,4,5,…,9,可有7个三角形;

当y为8时,x可以为:4,5,6,7,8,可有5个三角形;

当y为7时,x可以为:5,6,7,可有3个三角形;

当y为6时,x可以为:6,只有1个三角形;

所以所求的三角形有11+9+7+5+3+1=36个。

点评:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求,分成互不相容的几类情况分别计算,最后总计。

训练 某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分,如图,现要栽4种不同颜色的花,每一部分栽种一种且相邻部分不能栽同种颜色的花,不同的栽种方法有多少种?

5、标号排位问题分步法

例5 同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡,则四张贺年卡的分配方式有( )

A. 6种 B. 9种 C. 11种 D. 23种

  解:此题可以看成是将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。所以先将1填入2至4号的3个方格里有 种填法;第二步把被填入方格的对应数字,填入其它3个方格,又有 种填法;第三步将余下的两个数字填入余下的两格中,只有1种填法。故共有3×3×1=9种填法,而选B。

点评:把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题。求解这类问题可先把某个元素按规定排放,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成。

训练: 将标有1,2,…10的10个小球投入同样标有1,2,…10的圆筒中,每个圆筒都不空,且所投小球与圆筒标号均不相同的投法共有多少种?

6 自由选择问题住店法

例6 现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同的选法的种数是( )

A B C D

解:6名同学每人都可以在5个课外知识讲座中任选一种,所以均有5种选法,故总共有 种,选 A 。

点评:自由选择问题可以看成“顾客住店”问题。每名顾客(元素)都可以任意选择旅店(位置),因而每个元素都有位置数种选法,所以总方法为 种。

训练:某同学要将标有1,2,3,4,5,6的6封信投递出去,现有三个不同的信箱供选择,则有多少种不同的投递方法?

7 分配问题隔板法

例7 高一年级7个班级要组成篮球队,共需10名队员,每个班级至少要出一名,则不同的组成方法共有多少种?

解: 由于10名队员来自于7个不同的班级,每一个班级至少要一名,所以问题相当于将10名队员分成7组,10名队员并排站立中间有9个空格,在这9个空格中插入6个隔板就将10名队员分成了7组,每一组来自于一个班级,即得到了不同的组成方法共计 种.

点评:“隔板法”所解决的问题有以下特征:(1)被分的元素不加以区别;(2)被分的元素的个数不小于分得的组数;(3)每个小组至少分得一个元素。具备这些条件时就可以用公式:将 个相同元素分成 份 时,有 种分配方法

训练: 将10个相同的小球装

入3个编号分别为1,2,3的盒子当中,每次将10个球装完,每个盒子里的球的个数都不小于合资的编号数,则不同的装法共有多少种? 8 定序问题缩倍法

例8 A、B、C、D、E五个人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻),那么不同的排法的种数是()

  (A)24 (B)60 (C)90 (D)120

解:B在A的右边与B在A的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即 60种,故选(B)。

点评:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题,这类问题用缩小倍数的方法解决比较方便快捷。

训练: 从1,2,3,4,5五个数字当中任选3个组成一个三位数,其中十位比个位数字大的三位数共有多少个?

9 有序分配问题逐分法

例9 有6本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法?

(1) 平均分给甲、乙、丙三人;

(2) 甲得一本,乙得两本,丙得三本;

解:(1)每人得2本,可考虑甲先在6本书中任取2本,取法有 种,再由乙在余下的书中取2本,取法有 种,最后由丙取余下的2本,有 种取法,所有取法为 种。

(2)选取方法同(1),所以共有取法数为 种。

点评:有序分配问题是指把元素按要求分成若干组,常采用逐步分组法求解。

训练:有11名外语翻译人员,其中5名是英语译员,4名是日语译员,另外两名英、日都精通,从中找出8人,使他们能组成两个翻译小组,其中4名翻译英语,另外4名翻译日语,这两个小组能同时工作,问这样的8人名单共可开出几张?

10 匹配问题配对法

例10 从6双不同型号的鞋中任取4只,其中恰有两只配成一双的取法有多少种?

解:先在6双鞋中任取一双有 种取法,再在余下的5双中任取两双,每双中各取一只有 种取法,所以总取法有 种。

点评:“配对法”就是将两个相关元素之间建立一一对应关系,如鞋子配对,钥匙和锁配对,比赛选手和比赛场次配对等,利用这些对应关系,使得比较杂乱的问题简单化,解答思路明晰化,能够将难度分步化解,提升解答准确度。

训练:有111名选手参加乒乓球比赛,比赛采取单淘汰制,需要打多少场比赛才能产生冠军?

11 选排问题先选后排法

例11 有6名男医生,4名女医生,从中选3名男医生和两名女医生到5个不同的地区巡回医疗,但规定男医生甲不能到地区A,共有多少种不同的分派方法?

解:分两类:

第一类:甲被选,共有 种分派方法;

第二类:甲未被选,共有 种分派方法;

所以共有 种分派方法。

点评:本题中不仅要选出5名医生(元素),还要求分配到5个地区(空位),因此是一道“既选又排”的排列组合综合问题,解决这类问题的方法是“先选后排”,同时要注意特殊元素、特殊位置优先安排的原则。

训练:从1到9的九个数字当中取出三个偶数四个奇数,试问:

(1) 能组成多少个没有重复数字的七位数?

(2) 上述七位数当中三个偶数排在一起的有几个?

(3) (1)中的七位数当中,偶数排在一起奇数也排在一起的有几个?

12、至少问题间接法

例12 课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女各指定一名队长。现从中选5人主持某种活动,至少有一名队长当选的选法有多少种?

解:在选取的人员当中,总的选法有 种,不包含队长在内的有 ,所以总的选法有 种。

训练: 从甲、乙等10名同学当中挑选4名参加某项公益活动,要求甲、乙中至少有1人参加,则不同的挑选方法共有多少种?

点评:含“至多”或“至少”的排列组合问题,通常用分类法,但是往往分类较多,讨论起来难度较大。本题所用的解法是间接法,即排除法(总体去杂),适用于反面情况明确且易于计算的情况。

13多排问题单排法

例13 两排座位,第1排3个座位,第2排5个座位。若8名学生入座(每人1个座位),则不同的座法有多少种?

解:因8名学生可以在前后两排座位中随意入座,再无其他条件,所以两排座位可以看成一排来处理,故不同的座法有 种。

点评:把元素排成几排的问题,限定条件若不影响问题归结为一排考虑,那么就将多排问题化为一排,再分段处理。

训练:12名同学合影,站成前排4人,后排8人。

(1) 总共有多少种不同的站法?

(2) 摄影师要从后排8人中抽调2人到前排,其他人顺序不变,总共有多少种调整方法?

14交叉问题集合法

例14 从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方法?

解:设全集I={6人中任取4人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的公式可得参赛方法共有: (种)。

说明:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数的公式: 来求解。

训练:从7名运动员当中选出4人参加4×100米接力,求满足下列条件的安排方法数:(1)甲、乙二人都不跑中间两棒;(2)甲、乙二人不都跑中间两棒。

15 多排问题剔重法

例15 用5个数字0,1,1,2,2,组成的五位数总共有多少个?

解:特殊元素0先排,不能排在万位,有 种排法,1与2共有 种排法,剔除掉11与22的重复排列,共得五位数有 个。

点评:元素在排列过程当中出现重复排列称之为多排,所以在总排列数当中应该剔除掉重复排列。

训练:从1,2,3,4,…,100这100个自然数当中,每次取出两个不同的数相乘,积是5的倍数的取法有多少种?

由于排列组合问题考察思维灵活,因而这里所介绍的适用不同要求的各种方法并不是绝对的,对于同一问题有时会有多种方法,这时要认真思考和分析,灵活选取最佳方法。