突出本质 注重应用

微积分的创立是数学发展史上的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。导数是高中数学的传统内容之一，是学生进一步学习数学和其它自然科学的基础，是研究现代科学技术必不可少的工具。和旧教材相比，普通高中课程标准教材（以下简称新教材）在这一版块的内容和呈现方式上都发生了很大的变化，新教材更加突出了导数概念的本质，更加强调它的几何意义，更加强调它的几何直观，淡化了形式化的运算，而注重它的应用。本文就新教材使用后谈两个方面的体会。

一、突出概念的本质

旧教材就这一块的编排首先从极限的概念开始学习，即从数列数列的极限函数的极限导数，把导数作为一种特殊的极限来处理，这种概念的建立方式具有严密的逻辑性和系统性，但也产生了一些问题：由于高中学生的认知水平决定了他（她）们很难理解极限的形式化定义，于是形式化的极限概念就变成了学生这一块学习的障碍，严重影响了学生对导数思想及其本质的认识和理解。新教材通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率，让学生了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。

教材首先从学生熟悉的甚至好多学生亲身经历的吹气球问题入手，讨论气球的平均膨胀率，接着又讨论高台跳水运动问题：假设运动员相对于水面的高度（单位：m）与起跳后的时间（单位：s）存在函数关系h(t)，考察该运动员从腾空起跳到入水的过程中的运动情况。通过研究该运动员在不同时间段上的运动情况，使学生经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，认识到由平均速度过渡到瞬时速度的必要性和必然性，求出瞬时速度，为抽象出导数的概念做铺垫。在计算 t=2时的速度（即瞬时速度）时，通过列表计算学生即可清楚的看出t趋向于0时，平均速度v趋向于一个常数-13.1，这个常数就是运动员在t=2时的瞬时速度。尽管新教材没有专门介绍极限的相关知识，但通过列表计算学生很容易把握函数的变化趋势，此时又通过课本边框注释说明“我们称确定值-13.1是当t趋向于0时的极限”，实时恰当地引出极限这一概念，非常符合学生的认识水平和认知特点。采用这种归纳推理，通过一般化的过程，得出一般的函数 由平均变化率过渡到瞬时变化率，水到渠成的推出导数的概念。

这种引入导数的方式，不在极限的形式上做任何的交代，直接从实例出发，提供给学生一个形象直观的背景支持，使学生认识导数的物理意义和几何意义，对于学生正确理解概念、建立概念的抽象定义起到很好的衔接和过渡的作用，引导学生认识到导数就是瞬时变化率，有助于学生对导数概念本质的理解，避免了过多的极限知识冲淡或干扰对导数概念本质的理解，避免了引入极限后再介绍导数时给学生的一种错觉。这种用形象直观的“逼近”方法定义导数，其一是避免了学生认知水平和知识学习间的矛盾；其二是让学生把更多的精力放在对导数概念本质的理解上；其三是学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解，有利于在后续学习中学习极限的严格定义。

二．注重导数的应用

在以往微积分的教学中，更多的是要求学生会用公式和法则进行计算，对计算的要求很高，而忽视了导数作为数学思想、方法的工具性作用。新教材的处理淡化了计算，教学目标要求明确了用定义求常见函数（y=c,y=x,y=x2,y=,y=x）的导数；能直接用基本初等函数的导数公式及运算法则求简单函数的导数；对复合函数仅限于求形如f(ax+b)的导数，在教学参考3上还明确指出“对导数的计算要避免过量的形式化运算练习”，特别加强了导数在研究事物的变化率、变化的快慢，研究函数的基本性质和在解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题中的应用，并通过与初等方法的比较，让学生感受和体会导数在处理上述问题中的一般性和有效性。

关于导数的计算，有两种方法：一是利用导数的定义计算函数的导数，二是用基本初等函数的导数公式和四则运算法则计算函数的导数。由于没有系统的极限知识，所以教材只要求学生会计算五个函数的导数，目的在于让学生感受用定义求函数的导数的过程，进一步理解导数；第二种方法是直接利用教材中给出的导数公式和运算法则，并没有进行公式的推导，也不要求去推导，只是要求会用它们进行简单的计算。所以这一块的教学当中，我们要把握好课标的要求，避免过量、复杂的形式化练习，防止将导数作为一些规则和步骤来学习，而忽视它们的思想和价值这些更重要的东西。在这一块的教学当中，我们需要深入理解课程标准，防止“穿新鞋，走老路”，努力按照课程的呈现方式组织有效的教学。

参考文献：

1.全日制普通高级中学教科书 数学 选修Ⅱ.北京：人民教育出版社，2006。

2.普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2-2.北京：人民教育出版社，2007。

3.普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2-2.教师教学用书.北京：人民教育出版社，2007。