浅谈两个方阵同时对角化问题

摘 要 相似对角化是方阵一个重要的研究课题。现在的高等代数教学中一般关注的是一个方阵可以对角化的条件，但对两个方阵同时对角化的问题涉及得较少。

关键词 方阵 相似 同时对角化

中图分类号：O151 文献标识码：A

1引言

等价、相似、合同是矩阵的三大关系，其中等价与合同问题可以较为容易地求出其标准形，而方阵相似比矩阵等价、合同要复杂，特别是相似对角化。相似对角化问题是高等代数中一个重要的研究课题。

由于d―矩阵的引入，已经有多种方法去处理方阵对角化问题，但对于两个方阵同时对角化问题研究的较少。

定义：A，B∈Pnn若存在n阶可逆阵T，使T-1AT和T-1BT同时为对角阵，则称A，B可同时相似对角化。

2同时对角化的求证方法

方法一：在A可对角化的前提下，证明A的特征向量都是B的特征向量。

例1：设n阶矩阵A，B满足BA=A2+3B若A可对角化，则A，B可同时对角化。

证明 A可对角化， A有n个线性无关的特征向量Z1， Z2，…，Zn设A（Zi）=diZi，i=1，2，…，n

BA（Zi）=A2（Zi）+3B（Zi） ，

diB（Zi）=di2Zi+3B（Zi），即（di-3）B（Zi）=di2Zi，①

可以证明3不是矩阵A的特征值，否则，使A（[） =3[，BA（[）=A2（[）+3B（[），

3B（[）=9[+3B（[）， [=0，矛盾

由①式知B（Zi）=Zi，即A的特征向量都是B的特征向量，令P=（Z1， Z2，…，Zn）则

即A，B可同时对角化。

方法二：求出使A，B同时为对角阵的可逆阵

例2：设A，B为n阶实对称阵，且A为正定阵，则A，B可同时合同对角化。

证明：A为n阶正定阵， 存在可逆阵P，使PTAP=E，即A；E.

B为n阶实对称阵 PTBP仍为实对称阵

存在正交阵Q，使

令T=PQ则

例3：A，B∈Cnn若AB=BA且A，B都可对角化，则A，B可同时对角化。

证明 A可对角化，存在可逆阵P，使

其中d1，…，ds互异且ni=n.

AB=BA， （p-1AP）（p-1BP）=（p-1BP）（p-1AP），

p-1BP是准对角阵，记为，Bi是ni阶方阵

B可以对角化， B的初等因子都是1次，

相似矩阵有相同的初等因子且，

Bi的初等因子都是1次， 存在ni阶可逆阵Qi使Q-1iBiQi为对角阵

令

则

令T=PQ，则T可逆且

和均为对角阵。

方法三：利用例3可得下述定理1，利用此定理可以较为简洁的求证A，B可同时对角化。

定理1： A，B∈Pnn且A，B均可对角化，则A，B可同时对角化的充分必要条件是AB=BA.

例4： A，B∈Rnn，A与B均可对角化且A的特征值都相等，则A，B可同时相似对角化。

证明：A可对角化且其特征值都相等，存在可逆阵T，使T-1AT为数量阵，T-1AT与T-1BT可交换，AB=BA 。 由定理1知A，B可同时对角化。

3结束语

方阵对角化问题是高等代数中矩阵相关问题的一个重要研究课题，借助d―矩阵等价已经可以较好地解决方阵相似对角化问题，但两个方阵同时对角化问题要复杂得多。