递推关系的应用举例

在数列这一章的学习过程中，我们对递推关系已有粗浅的认识。在纷繁变幻的世界，某种现象的变化结果与紧靠它前面变化的一个或一些结果紧密关联，而递推关系的思想正体现了这一规律。递推关系不仅在众多数学分支，如：组合、概率、几何、矩阵中起着重要作用，也在其他诸如信息学等科学领域中显示出独特魅力。因此，学好递推关系不仅可以提高我们的数学素养，更对今后进行学术问题的推广研究起着举足轻重的作用。许多著名问题用递推法来解显得精巧简捷，如：著名的杨辉三角（又称Pascal三角）就是根据组合公式画出来的，很显然组合公式、杨辉三角都属于递推关系的范围。

我们思考一个数学问题，有时可以跳出它的范围去思考一个比它更为一般的问题，而一般的问题有时比特殊的问题更容易解决，或是解决了一般的问题就能够得到一系列类似问题的结果，这就是“特殊问题一般化”的数学思想．递推关系中存在着三大基本问题：如何建立递推关系、已给的递推关系有何性质以及如何求解递推关系。如果能弄清楚这三个方面的问题，相信我们对递推关系的认识又会推进一步。建立递推关系的关键在于寻找第n项与前面几项的关系式以及初始项的值。它不是一种抽象的概念，是需要针对某一具体题目或一类题目而言的。事实上，递推关系在求解数学的某些问题中，独具魅力，趣味盎然，方法新颖快捷，使人深受启发。下面略举几例以供广大读者参考。

一、递推关系求数列的通项公式

例1：如下图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上。

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1.每次只能移动1个金属片；

2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面。

问：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？

解：用n表示把n个金属片从一根针全部移到另一根针，最少需要移动的次数。

显然，把1个金属片从1号针移动3号针，最少需要移动1=1次；下设n是不小于2的整数，当把n个金属片从1号针移到3号针时，可分为下列3个步骤：

（1）将上面（n-1）个金属片从1号针移到2号针；

（2）将第n个金属片从1号针移到3号针；

（3）将上面（n-1）个金属片从2号针移到3号针。

按这个步骤可得递推关系式n=2n-1+1且1=1，进而可得，把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动的次数n=2n-1（n∈N*）。

二、递推关系求概率

例2：设正四面体的4个顶点是A、B、C、D，各棱长度均为1米，有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一个顶点处用同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一，并一直爬到这条棱的尽头，求它爬了7米之后恰好回到顶点A的概率。

解：考虑一般情形，若小虫走过n米后又回到点A，则它走过n-1米就在B、C、D三点中的一点，小虫走过n-1米到达A点与不到达A点是对立事件，设Pi表示小虫走过i米后又回到A点的概率，则Pi-1表示小虫走过i-1米后回到A点的概率，1-Pi-1表示小虫走过i-1米后不在点A的概率，因从B、C、D三点到A点是等可能的，于是有Pn=■（1-Pn-1），因起始时小虫在点A，所以Po=1。故得递推关系：Po=1Pn=■（1-Pn-1）（n≥1）即Pn-■=-■（Pn-1-■）进而易得Pn=■+■×（-■）n，P7=■即为小虫走过7米后回到A点的概率。

三、递推关系证明不等式

例3：已知、b∈R+，对任意n∈N，

求证：■≥（■）n（1988年湖南省中学生夏令营竞赛题）

证明：记Pn=n+n-1b+n-2b2+...+bn，Qn=（■）n，则原不等式等价于Pn≥（n+1）Qn，

（+b）Pn-1+n+bn=2Pn，即Pn=■Pn-1+■（n+bn）

据幂平均不等式得Pn≥■Pn-1+■（+b）n，从而■≥■+1，于是■≥■+1≥■+2≥…≥■+（n-1）=2+（n-1）=n+1

即Pn≥（n+1）Qn

故原不等式成立。

参考文献：

李长明.“数学解题的思路、方法和技巧”贵州科技出版社，1996.

（作者单位 贵州省黔西南州望谟县民族中学）