递推数列在解概率问题上的应用

摘 要：本文指出了递推数列、概率有机结合的题型，体现了知识网络的交汇点，探讨了运用递推数列解答概率问题的数学方法，分析了递推数列与概率的综合题对提高学生解题能力的作用。

关键词：递推数列 概率 综合 能力

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）06（c）-0090-02

递推数列是中学数学教学的难点，概率是新教材所增加的内容。二者的联袂，使数学题增加了活力，也使在知识网络交汇处命题增加了新的亮点。这对培养学生的数学思想方法和提高解题能力十分有益。本文试图对递推数列在概率上的应用做粗浅的分析研究。

例1：一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0、1、2…100，共101站，一枚棋子开始在第0站（即P0=1），由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次。若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站。直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束。已知硬币出现正、反面的概率相同，设棋子跳到第n站时的概率为Pn。

（1）求。

（2）设（1≤n≤100），求证：数列是等比数列。

（3）求玩该游戏获胜的概率。

解：设事件A发生的概率为P，若在A发生的条件下发生B的概率为P′，则由A产生B的概率为P・P′。根据这一事实解答下题。

（1）P0=1

P1=，，

（2）棋子跳到第n站，必是从第n-1站或第n-2站跳来的（2≤n≤100），

所以，

，

≤≤，且。

故{}是公比为，首项为的等比数列（1≤n≤100）。

（1）由（2）知，

故获胜的概率为。

例1是一道跳棋游戏的应用题，贴近学生生活，具有知识性，趣味性。不仅使学生能够运用所学的递推数列和概率的有关知识解答这一身边的游戏性问题，而且使枯燥，呆板的数学题充满了活力和魅力，令学生感到学的轻松和愉悦。

例2：有人玩掷骰子动棋的游戏，棋盘分为A、B两方，开始时把棋子放在A方，根据下列（1）、（2）、（3）的规定移动棋子：（1）骰子出现1点时，不能动棋子；（2）出现2，3，4，5点时，把棋子移向对方；（3）出现6点时，如果棋子在A方就不动。如果在B方，就移至A。把骰子掷了n次后，棋子仍然在A方的概率记为Pn。

（1）对于任意n∈N，证明点（Pn，Pn+1）总在过定点，斜率为的直线上。

（2）求Pn。

解：（1）把骰子掷了n+1次，棋子仍在A方的概率为Pn+1，有两种情况应当考虑：

①第n次棋子在A方，其概率为Pn，且第n+1次骰子出现1点或6点，不动棋子其概率为，因此，第①种情况产生的概率为。

②第n次棋子在B方，其概率为1-Pn，且第n+1次骰子出现2，3，4，5或6点，其概率为，因此，第②种情况产生的概率为。

易知

点（Pn，Pn+1）在过点，斜率为的直线上。

（2）

又（利用（1）的结论）

是首项为公比为的等比数列。

例2虽然也是个玩棋的游戏问题，但在第（1）问中是把递推数列构造的等比数列表现形式进一步延伸，改变问法，变成了证明题。使之与解析几何直线问题密切结合，沟通了递推数列、概率、解析几何之间的联系，拓展了学生的思维，培养了探究问题的能力。再进一步推广，递推数列，都可以化成第（1）题形式的证明题，起到了一题多变，多题一解的作用。

例3：已知正四面体A―BCD，有一只小虫自顶点A沿每一条棱以等可能的概率爬到另外三个顶点B、C、D。然后又从B、C、D中的一个顶点沿每一条棱以等可能的概率爬到其它三个顶点，依次进行下去。记Pn为第n次到顶点A的概率（小虫刚开始在A点，此时算作第1次到A，即记为P1=1）。

（1）求P n的通项公式。

（2）求第2005次爬行到顶点A的概率。

解：（1）由于第n次到顶点A是从B、C、D三个顶点爬行而来，从其中任何一个顶点到达A的概率都是，而第n―1次在顶点A与小虫在顶点B、C、D是对立事件，因此，第n次到达顶点A的概率为，即。

是以为首项，公比为的等比数列，

.

故

（2）第2005次爬行到顶点A的概率

小虫爬行问题，小学初中数学中出现过相关问题。学生阅读完例3，有我们曾相识的感觉。从而激发了学生强烈的求知欲，调动了学生在新知识背景下解答小虫爬行问题的积极性。由于用到对立事件原理，推导出递推数列，使学生感到很新奇。同时使学生认识到解数学题也应与时俱进，从而培养学生科学发展观。

例4：从原点出发的某质点M，按向量a=（0，1）移动的概率为，按向量b=（0，2）移动的概率为。设M到达点（0，n）的概率为Pn，求Pn。

解：M到达点（0，n）有两种情形：

（1）从点（0，n-1）按向量a=（0，1）移动到点（0，n），此时概率为。

（2）从点（0，n-2）按向量b=（0，2）移动到点（0，n），此时概率为。

因这两种情形是互斥的，故有≥，

即≥。又易得

所以数列是以为首项，为公比的等比数列。

于是≥

所以

向量与概率都是新教材重量级内容，例4是用向量“包装”的概率题，又以数列“一剑封喉”，创意新颖，别具匠心。例4的解答是学生所学向量，递推数列、概率知识融为一体的综合运用，也是对学生知识网络的全面考查。

例5：质点A位于数轴χ=0处，每隔1秒就向左或向右移动1个单位，设向左移动的概率为，向右移动的概率为。

（1）求经过3秒后，质点A在c=1处的概率。

（2）假若质点B在c=0和c=1两处之间移动，并满足：当质点B在c=0处时，经1秒后必移到c=1处，当质点B在c=1处时经1秒后分别以的概率停留在c=1处或移动到c=0处。今质点B在c=1处，记经n秒后质点在c=1处或移动到c=0处。今质点B在c=1处，记经n秒后质点在c=1处的概率为P n，建立P n+1与P n的关系式，并求出Pn。

解：（1）A到x=1对应“两右一左”的一个排列，

所以。

（2）质点A经n秒，在c=1处的概率

由此得。而，

所以。

所以。

学生在审题时，注意到关键词“两右一左”，才能确定第（1）题是求独立重复试验的概率。第（2）题是把条件进一步拓宽。使问题有了新高度，通过递推数列构造等比数列，使问题迎刃而解。题目不偏不怪，对培养学生敏锐地观察能力和灵活的思维能力颇有益处。

以上可以看到，递推数列与概率的综合在数学命题中举足轻重，再加上联系其它知识，更是锦上添花，前景广阔。

参考文献

[1] 薛金星.《中学教材全解》高二数学（下）[M].陕西人民教育出版社，2002.