在递推中寻找规律

【教学内容】

在数学题目中嵌入历史名人的故事，如“李白沽酒”“爱因斯坦的帽子”等，是数学教学中常见的一类题。本文以“王冕取环”的故事为学习材料进行教学。

【教学目标】

1． 在探索取环的过程中，让学生逐步体会运用递推法思考问题。

2． 在用递推法解决问题的过程中，让学生逐步发现“规律”（实际应该是“假设”），修正“规律”，最后总结出真正的规律。

3． 通过情境化学习，培养学生解决数学问题的兴趣，养成良好的数学思维习惯。

【活动过程】

一、 故事引课，提出问题

（一） 故事引课

师：听说过王冕吗？

生：他是著名的大画家……

师：是啊，王冕是元代著名画家、诗人、书法家，浙江诸暨人。

师：那你知道他小时候是什么样的吗？（课件出示王冕在学堂外听课的图片）

师：王冕小时候家境贫苦，没有书读，常常独自躲在学堂门外，听先生讲课。（课件出示王冕放牛画荷花的故事）

师：他聪明刻苦，放牛时，牛儿去吃草，他便独自在池边，临摹池中荷花。最终成为远近闻名的大画家。今天老师带来了既跟数学有关也跟王冕有关的小故事。

（点评：在人类的历史长河中，有许多的励志故事千古传颂，王冕放牛听书、作画就是其中之一。教师运用插图点评的形式，用简明的设计与简洁的语言，为学生勾勒出一个在贫寒中成长的少年形象，为引出数学问题和研究数学问题做好了情感的铺垫。）

（二） 提出问题

教师在课件中出示下面一段文字与图示。

传说，王冕小时曾为一个财主放牛，讲明的条件是：每月以一个银环做工钱。当王冕做完了一个月工作后，财主拿来了一串小小的银环，在他面前晃了晃，说：“喏，这是你七个月的工钱，但是有个条件：这七个银环只准断开其中一个，你每月也只能取走一个。当月付清当月的工钱，不拖不欠。假如你违反规定，不但拿不到工钱，还要把已经付出的全部收回。”王冕一听，这显然是在刁难他。但是穷人又上哪去讲理？他只得答应照办。为了挣钱活命，他每天一面给主人辛勤劳动，一面思考着怎样才能按月取走工钱。

后来，他终于想到了办法，在七个银环中只断开一个，以后每月都如数地取走一个银环的工钱。王冕用了什么办法呢？

师：要解决这个问题，理解哪句话是最关键的呢？

生：这七个银环只准断开其中一个，你每月也只能取走一个。当月付清当月的工钱，不拖不欠。

师：这句话你是怎么理解的呢？

生：就是只有一个银环可以断，而且每个月只能取走一个，不多不少。

师：这节课我们就要来解决“王冕取环”的问题，（板书：王冕取环）能解决这个问题的请举手。

师：看来大部分同学都有困难，那么会的同学请等一等，请把你的智慧和方法等会儿慢慢地展示给大家。

（点评：数学故事转化成数学问题，需要有一个提炼的过程，教师通过设问引导学生从中概括出数学问题。由于学生的学习背景不同，可能有个别学生已经学习过这样的问题。但是，如果要他们直接回答这个问题，就有可能影响其他同学的思考，因此，教师没有让这部分学生直接发表意见，以照顾大部分学生的思维状态。）

二、 由简到繁，递推规律

（一） 探究三到五环

1. 探究3环的情况

教师课件出示下图后提问：如果问题变成这样呢？我们一起读一读。

师：可以怎么解决，你会断在哪里？

生：断在第2环。

师：是这样吗？那么变成了——（板书：1，1，1）

师：老师认为还可以这样断（见左图），我们又可以把这种情况记做——（1，2）。

师：那么第一个月可以解决吗？怎么解决？

生：直接拿走一环。

师：问题是第二个月，怎么取？现在只有两环，如果拿走了就……（多拿了一环），但是我们只要——（一环）。

师：谁能到前面来操作一下。（请学生到前面演示）

师：现在请你从信封中取出1环和2环，操作一下，并跟你的同桌互相说一说。

师：现在你对这种方法有感受了吗？

（点评：从三个环中断开一个环，可以变成（1，1，1）和（1，2）两种情况。教师对第一种没有演示与说明，而对第二种情况却让学生用学具具体演示。因为第二种情况中，第二个月的工钱的拿法中出现的“多拿后还回”的策略是解决这类问题的关键。）

2. 探究4环的情况

师：那么如果问题又变成这样呢，你也会解决了吗？

课件出示：

学生独立思考，并展示所用的方法。教师板书记录：（1，1，2）或（2，1，1）。

3. 探究5环的情况

师：大家有信心挑战五环吗？

教师请学生按活动要求独立操作，先想再验证。

由以上几个步骤得到如下板书：

师：请看表格，你发现了什么规律？

生：我发现情况2中的前面两个部分都是1环和1环，余下的组成第三个部分。

生：我发现情况1的数据中，３环是（1，2）；４环是（1，2，1）；５环是（1，2，2），前面两个部分都是1环和2环，第三个部分就是余下的。

师：看来情况1和情况2都是有规律的，根据刚才你所发现的，能猜出6环应该分成哪三个部分吗？

生：按照情况1猜测是（1，2，3），根据情况2猜测是（1，1，4）。

师：那么现在请你思考哪种猜测你可以先排除掉，为什么？

生：（1，1，4）可以直接排除，因为第三个月的时候没办法取环了。

师：看来情况2中的规律到6环的时候就不能成立了。

（点评：探究4环、5环后，根据已有的素材总结出“规律”，而这一个规律实际上还是一个“假设”，需要再举例子进行验证。所以探究6环，实际就是验证假设的过程。通过验证发现情况2不成立，从中让学生感受到，从现象中归纳出来的“规律”，有它适合的范围。）

（二） 探究六到七环

师：那么情况1的猜测（1，2，3）呢？我们来验证一下它可以断在哪里。

生：可以断在第三环，也可以断在第四环。（生说，师点击对应的课件）

师：从这里我们又可以发现什么？

生：1总是放在中间，2和3交换了位置。

师：现在就请你从信封中取出1环、2环和3环进行验证。

（教师请学生操作，如果有不同的顺序，就请学生来进行补充）

师：通过刚才的验证，看来情况1的规律还在延续，那么现在你还能继续猜测7环吗？

生：就是（1，2，4）。

师：根据（1，2，4）的猜测，我们可以断在哪个环？

生：第三环或者第五环。

师：好，现在谁能解决王冕取环的问题呢？（请学生展示）

（点评：在这个教学过程中可以发现，在解决简单问题中发现的规律，也有可能不适合于解决复杂问题。因此，教师引导学生在探究3环、4环和5环中总结出的两种规律，通过在探究6环和7环中的应用和验证，让学生逐步发现一些规律的局限性。）

三、 深度探究，探索规律

师：到这里，关于“王冕取环”中的问题解决了。但继续往下想，如果是8环，断成三个部分行不行？（课件出示1，2，5）

生：不行。

师：看来按要求取，断成三个部分，最多只能是7个环。那么8环如果按要求取，看来至少需要断成四个部分。

师：也就是说第三个部分最多只能是“4”。所以我们就要把这里的5变成：让4留下，然后剩下1。（见左表）

师：8环就断成了（1，2，4，1），那么这种分析到底是否正确呢？该怎样验证呢？

生：因为７环（1，2，4）已经验证肯定可以了，所以第八个月的时候只要直接拿剩下的一环就可以了。

师：那么9环（1，2，4，2）呢？如何迅速验证呢？

生：同样的道理，（1，2，4）肯定已经解决前面7个月的问题，而剩下的“2”，只要直接拿走2环，还回1环就可以了。

师：那么10环（1，2，4，3）？可以吗？

师：请你想一想，按照这个下去，第四部分最多应该可以是几环？

（根据学生猜测，如果是认为（1，2，4，6）的，那么就先验证13环，然后继续验证14环）

师：那么到底什么时候这个规律又会发生转折呢？我们从上往下看。

师：你能找到规律了吗？

生：应该是到（1，2，4，8），也就是15环的时候。（师课件点击一直到15环为止）

（请学生在小组内验证）

师：那么16环呢？

学生在小组内验证，发现验证分成四个部分不能按要求完成。

师：看来16环又需要增加一个部分，至少断成5部分，那么你能猜测是多少吗？

生：（1，2，4，8，1）。

师：如果再增加环数，还可以分成哪几个部分呢？

（点评：我们可以发现，7个环时研究的背景是只断开一个环后，每个月可以取到一个银环，而研究大于8个环时，则把它转化为至少断成几个部分，可以每个月取到一个银环，这样有利于对规律的进一步研究。同时，在验证时，教师引导学生利用前面验证的结果，既节省了时间，也让学生感受到事件的联系性。）

四、 课堂总结，提炼方法（略）

（浙江省杭州市萧山区宁围四小 311215）