两类递推数列通项公式的不动点求法

【摘 要】数列及其性质的研究，对确定数列的通项公式起着至关重要的作用。文章介绍了两类递推数列通项公式的不动点求法，给出了两个结论并举例说明。

【关键词】递推数列 通项公式 不动点

【中图分类号】O122 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2013）08-0129-01

求递推数列的通项公式或研究其性质是高中数学的重点内容，也是高考热点之一。研究数列问题时，熟练地求出通项，是解决问题的关键。数列的通项公式可以看做函数的解析式，而函数解析式深刻地反映了函数性质。因此，利用函数知识求数列的通项公式，值得我们研讨。利用函数的不动点知识，我们得到了两类递推数列通项公式的一般性解决。

一般地，若x0满足f（x0）=x0，则称x0是函数f（x）的一个不动点。

定理1：若f（x）=ax+b（a2+b2≠0），则x0为f（x）的不动点，{an}满足an=f（an-1）（n≥2），则{an-x0}是以公比为a的等比数列。

证明：由x0是函数f（x）的一个不动点，知ax0+b=x0，即-ax0=b-x0。

于是an-x0=（a·an-1+b）-x0=a·an-1-ax0=a（an-1-x0）命题得证。

定理2：设 ，数列{un}

满足un=f（un-1）（n≥2），且初始条件u1≠f（u1），则有：

（1）若f（x）有两个不动点p，q则数列 是以公比为

的等比数列。（2）若f（x）只有一个不动点p，则数

列 是以公差为 的等差数列。

证明：（1）由题知 ，得： ，同理有：

。所以： 。

（2）p为f（u）唯一不动点，知 ，cp2+（d-a）p

-b=0， ， 。

故数列 是以公差为 的等差数列。

例1，（2005年高考·山东卷）已知数列{an}的首项为a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*），求{an}的通项公式。

解：由已知Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*），得：

当n≥2时，Sn=2Sn-1+（n-1）+5，两式相减得an+1=2an+1。当n=1时，由a1=5，所以a2=11，从而a2=2a1+1，故an+1=2an+1，对n∈N*成立。

令x=2x+1，求出不动点x=-1。由定理1得：数列{an+1}是公比为2的等比数列，所以an+1=（a1+1）·2n-1，故an=3·2n-1。

例2，〔2011年高考理科数学（必修+选修II）全国1卷〕

设{an}数列满足a1=0，且 ，求{an}的通项公

式（注：本题只选其中一问作答）。

解：易得 联想到an=f（an-1）（n≥2）形式，

恰好是不动点！令 得x=1。依据定理2（2）有d=-1，

所以 ，解得 。

例3，（2012年高考全国大纲卷理22）函数f（x）=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点p（4，5）、Qn〔xn，f（xn）〕的直线pQn与x轴交点的横坐标，求数列{xn}的通项公式。

解：由题意可得直线pQn的方程为 ，

令y=0，解得 ，又由方程 可得不动点

x1=-1，x2=3。

由定理2知数列 是以-3为首项5为公比的等比

数列，所以 ，故 。

参考文献

[1]陈传理、张同君.竞赛数学教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2005