时间：2022-10-24 05:41:10
“边点三角形”指以平行四边形某边为边，三角形第三个顶点在该边的对边所在直线上，称这样的三角形叫平行四边形的“边点三角形”.如图1中ABE、ABF，便称作ABCD的边点三角形.
1 平行四边形与“边点三角形”面积关系
边点三角形性质：由于边点三角形与平行四边形同底等高，由面积公式易知：边点三角形面积是平行四边形的一半；且同一平行四边形的所有边点三角形面积相等.
2 平行四边形与“边点三角形”的面积差
例1 如图2，E为ABCD边上一点，ABCD的面积为S，则DEA与ECB的面积和为 .
A.S B. 12S C. 13S D. 14S
分析 由图知，DEA、CEB与边点三角形ABE构成ABCD.又据“边点三角形性质”得：SABE=05S，所以SADE +SECB=05S.
3 通过“边点三角形”实现平行四边形内三角形面积的等效转化
例2 如图3，E为ABCD的边AD延长线上一点，BE交DC于F.求证：SDFA=SEFC.
分析 观察图3，不难发现ABCD中有两个“边点三角形”――ABF与BCE.由例1知ABF与DFA、BCF相关联，而BCE与EFC、BCF相关联，从而所求结论关联起来.
证明 在ABCD中，由“边点三角形”性质有SBCE=05SABCD， SABF=05 SABCD.所以SDFA + SCFB =05SABCD.所以SDFA + SCFB =SBCE = SEFC + SCFB，所以SDFA=SEFC.
4 构建“边点三角形”，沟通平行四边形与平行四边形的面积关系
例3 如图4，已知ABCD的顶点D在AEFG的边FG上，AEFG的顶点E在ABCD的边BC上.求证： SGDA+SDFO=SBEA+SECO.
分析 由图形知，欲证SGDA+SDFO= SBEA+SECO .只须证ABCD与AEFG面积相等即可.为此连结DE，构造“边点三角形”AED.显然AED既是ABCD的“边点三角形”，又是AEFG的“边点三角形”.于是ABCD与AEFG可通过AED勾联起来.
证明 连DE，由边点三角形性质得：
SAEFG =2SAED ， SABCD =2SAED .
从而SAEFG =SABCD.
另一方面又有：
SGDA+SDFO=SAEFG-S四边形AEOD ；
SBEA+SECO =SABCD-S四边形AEOD.
因此SGDA+SDFO=SBEA+SECO .
5 创建平行四边形，将三角形转化为“边点三角形”
例4 如图51，P是ABCD对角线AC上任意一点.求证：SDAP=SBAP .
1 图52 分析 要证两个三角形面积相等，可设法构造一个平行四边形，使BAP、DAP成为它的边点三角形即可.
证明 如图52所示，将BAP平移至DEC位置.易知四边形APED是平行四边形.根据边点三角形定义知DEC与DAP都是APED的“边点三角形”，由边点三角形性质得：SDAP=SDEC，又由平移得：SDEC=SBAP，故SDAP=SBAP .
例5 如图61，在ABCD中，点P在BC上，PQ∥BD交CD于Q，则图中和ABP面积相等的三角形有 个.
1 图62 分析 图中有许多三角形，能否将这些看上去可能与ABP面积相等的三角形转化到一个平行四边形中，变成“边点三角形”呢？于是如图62 所示，延长PQ、AD交于点E.很显然ABP、DBP、DBQ，都是BPED的“边点三角形”，根据“同一平行四边形的所有边点三角形面积相等”得：DBP、DBQ与ABP等面积，所以和ABP面积相等的三角形有2个.
例6 如图71，P是ABCD外任意一点.若SPDA=3， SPBC=5， SPDC=4，求SPAB的值.
分析 从目标和已知可以看出SPAB与SPDA、SPBC、SPDC 有关.且不难有如下直觉：SPAB=SPDA+ SPBC+SPDC .考虑到问题发生在三角形间，不妨构造平行四边形，使各三角形变为相应的边点三角形.再由平行四边形关系寻找三角形关系.
1 图72解 如图72所示，过P点作NM∥DC交AD、BC的延长线于N、M.作PF∥AD交CD、AB于E、F.易知四边形AFED、四边形FBCE、四边形DCMN均是平行四边形.PDA是AFED的边点三角形，PBC是FBCE的边点三角形，PDC是DCMN的边点三角形，PAB是ABMN的边点三角形.从而有：
SPDA=05SAFED ，SPBC=05SFBCE ，
SPDC=05SDCMN ，SPAB=05SABMN .
又因为SABCD=SAFED +SFBCE，且
SABCD= SABMN -SDCMN .
所以SAFED+SFBCE= SABMN -SDCMN .
所以2SPDA+2SPBC=2SPAB-2SPDC .
所以SPAB=SPDA+SPBC+SPDC=3+5+4=12.
作者简介 戴向阳，男，中学一级，学科带头人，先进教研个人，发表文章十多篇.