反例的作用及几种构造方法

摘 要 阐述反例的定义、作用以及如何构造反例，引用一些典型例题做分析，叙述应用反例考虑问题的思想方法和一些技巧。

关键词 数学；反例；发散思维能力；创造思维能力

数学中的反例是指符合某个命题的条件，而不符合该命题结论的例子。当一个数学命题被提出后，一是通过一系列的正确推理，对命题作出证明；一是寻求反例（一个足够），否定这个命题。

1 反例的作用

1.1 反例可用来判断命题的真假

在数学中要证明一个命题为真命题，必须经过严密的推理；而要否定一个命题，只要举出一个符合命题条件但与命题结论矛盾的例子就可以了。费尔马（Fermart）是17世纪法国杰出的数学家，他曾提出猜测：形如，当n是自然数时，是质数。过了半个多世纪，欧拉（Euler）首先找到一个反例，计算出当n=5时，不是质数，即：，是一个合数。欧拉（Euler）通过反例否定了费尔马的这个猜想，用反例判断命题真假的作用由此而见。

【命题1】周期函数之和仍是周期函数，非周期函数之和仍是非周期函数。

【分析】取，周期为2，，周期为，但是为非周期函数。又可取均为非周期函数，但是它们的和显然是周期为的周期函数。

从上面的反例可以判定命题1是假命题。

1.2 反例可用来构造证明一个命题

对于一个命题，从一方面看，它的反例可以起到否定这个命题的作用。如果没有找到反例，也不能说明命题为真命题，因为有可能反例是存在的，只是没有找到它而已。从另一方面看，一个命题的反例，有时也是其否命题的极好证明。

【命题2】质数是有限多个。

【分析】如果质数仅有有限多个，那么就可以把它们全部写出来，不妨设为，此外再没有其他的质数了。现构造一数：。或是一个质数，它显然比一切都大；或是一个合数，又显然不能整除，所以还有其他的质数因子。但无论哪种情况，都说明有其他的质数存在。这个反例表明：命题“质数是有限多个”是假命题。

1.3 反例有助于加深理解数学概念与定理

数学中的概念与定理有许多结构复杂，条件结论犬牙交错，使人不容易理解。通过一些反例的分析，有助于加深理解数学概念。借助于反例能将定理的条件、结论之间的关系弄得一清二楚。

【命题3】周期函数必有最小正周期。

【分析】讨论周期函数及其最小正周期时，不少人以为周期函数必有最小正周期，可以举出反例澄清这种看法：这个函数以任何有理数为周期，而有理数中无最小正数，所以没有最小正周期。这说明不是所有周期函数都有最小正周期。通过这个反例，帮助人们加深理解周期函数最小正周期这一数学概念。

1.4 反例是一个发现解题结果错误的快捷方法

面对一个问题的解答，通常会用多种方法验证结果对不对。用反例来引导人们追寻问题的所在是一个快捷的方法。

【例】若方程的两个根都比2大，求实数的范围。

【错解】由题意得①

则②

即，故。

不用反例很难发现解题结果的错误。若取代入，则得方程，它的一根为2（并不比2大）。由这个反例可见解题过程有错误，那么错在何处呢？仔细查看可知：由①②并不是同解变形，应在②中加条件，正确答案应为：。

用反例帮助人们发现解题结果的错误，方便而快捷。此外，反例还有助于加深记忆数学定义、定理、公式等。

2 构造反例的几种方法

2.1 二分法

所谓“二分法”就是把满足题设的情况分为两类，使其中一类具有某种属性，而另一类不具有这种属性，如果第一类情况能使命题成立，则考察第二类情况。必要时，可继续采用“二分法”把第二类情况再次分类进行考察，直到找到反例为止（当然有时也不一定能找到）。

【命题4】若且，则。

【分析】命题结论中可分为两类情况：1）；2）。显然，在后一类情况下，恒有，即当时，命题结论不成立。于是，容易举出反例：当时，有：。通过“二分法”，有条理地找到反例，说明此命题为假命题。

2.2 特例构造法

利用一些特殊情况与典型反例来构造所需的反例：特殊情况如三角形为直角三角形、等腰三角形，两直线平行或垂直等；典型反例如判断函数的奇偶性中如何说明一个函数是非奇非偶函数等。有了这些特例，必要时进行灵活地应用，就可以构造出所需的反例。注意考察题设的特例或典型反例，有时会起到事半功倍的作用，能很简捷地发现反例。

2.3 逼近构造法

通过分析命题，找到反例所在范围，将范围逐渐缩小并逼近目标，最后构造出所要的反例。

【命题5】设分别为的内切圆半径、外接圆半径和最长的高，则有。

【分析】取等腰，设顶角为，当（图1）时，为底边上的高。随着变小，变长，同在上，有。

当（图2）时，为腰上的高，且有。当时，。故可在该范围内构造反例：。故可判断此命题为假命题。

2.4 图形构造法

联系问题的几何意义，借助于图形，构造反例。

【命题6】分别是函数的最小正周期，则函数的最小正周期是的最小公倍数。

【分析】不妨设函数最小正周期，如果命题成立，则函数的最小正周期也应为。现构造函数，使其最小正周期缩小一半（图3）。为使与满足条件，可取的前半周期与相等，后半周期为0；则反之，从而反例构成。这样通过图形可直观地判定原命题为假命题。

2.5 题设数量关系讨论法

有些似真实假的数学命题，其题设规定了某些数量之间的关系或隐含着某些数量关系。当这些数量关系满足题设关系的一部分时，命题成立；当这些数量关系满足题设关系的另一部分时，命题则不成立。因此，注意讨论题设的数量关系往往能较简捷地构造出反例。

【命题7】设的三边长分别是，且，则三角形必是正三角形。

【分析】依题意知

，移项整理得

或。显然，以上各式均可逆推。当时，有。这时满足题设关系但命题结论不成立。于是，容易找出反例：时满足题设关系，有，但不是正三角形。

3 小结

反例在培养发散思维能力及创造思维能力中占有重要地位，在纠正错误结论、加深理解概念、开拓数学新领域中也有重要的作用。学会构造反例是一门学问，从学习实践中可以获得许多构造反例的经验。

参考文献

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（作者单位：江苏省宝应中学）

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