反例在数学中的应用

众所周知，要断定一个命题的正确性必须经过严密的推证；而要否定一个命题，却只要举出一个与结论矛盾的例子即可。这种与命题相矛盾的例子称为反例。数学中的反例，既是简明有力的否定方法，又是加深对概念和定理的理解的重要手段，它有助于发现问题，活跃思维，避免常犯易犯的错误。

综观近年中考题，反例问题是个大热门，几乎年年必有。从对学生考查的角度来看，反例问题是对学生逆向思维能力的考查，从内容上来看，它涉及列举反例、构造反例、运用反例等；从方法上来说，它涉及概念中的反例运用与证明中反例运用等；从能力角度来说，它要求学生有一定的分析问题，解决问题的能力，构造反例的能力等。所以无论从考试角度还是能力培养上，在教学中都应高度重视，因此总结反例运用问题是很必要的。

一、什么叫反例

数学中的反例，是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子。简单地说，反例是一种指出某命题不成立的例子。

美国数学家盖尔鲍姆指出“数学由两大类――证明和反例组成。而数学发现也是朝着两个主要目标――提出证明和构造反例”。数学问题的探索中，猜想的结论未必正确，正确的需要证明，谬误的则靠反例。可见在数学教学中，构造反例与提出证明具有同等重要的作用。

二、反例在数学教学中的功能

1.反例可使学生正确理解基本概念

在教学中利用反例，从心理学的观点来看，这是一种比较。比较能确定与被比教对象的共同点和不同点。有比较才有鉴别，才能容易把握住所研究对象的本质特征。因此，概念教学中，教师不仅要运用正面的例子来深刻阐明其本质属性，而且要灵活借助反例加深学生对概念中的关键词和本质特征的认识，强化对概念的理解。那么，如何运用反例来加强概念教学呢？

（1）用学生学习中出现的错误当“教材”

如在学习“分式”的概念时，让学生讨论代数式■（x≠0）是不是分式？

很多学生认为代数式■（x≠0）不是分式。出现这种情况的原因是学生对分式的概念理解不深透。于是，我把这个反例拿出来“示众”，让学生对照课本加以讨论，使学生明确了分式的概念，明确了判断一个代数式是不是分式要根据概念看原来的分式，不能化简后再判断。

（2）选用恰当的选择题

选择题可以考查学生对概念理解的严谨性、计算的正确性以及推理的严密性。一个好的选择题，正确答案以外的几个“答案”不是随意写出来的，而是由于错误地理解概念所作出某种错误的判断，或由作图不正确以及推理有毛病而得出的“答案”。出示这些答案，往往使学生“上当受骗”。因此，教学中要恰当地选用这些选择题，来帮助学生加深对概念的理解和掌握。

2.反例是纠正错误的有效方法

概念、定理的教学总是采用正面叙述的方法，而学生对概念的关键词理解不够，常常会出现一些错误。

对于一些初中学生要判断命题“如果a是实数，那么a2>0”的真假，只要举一反例a=0，而a2=0，这可能是中学生遇到的第一个反例，但多年的教学告诉我们即使到了高三，还有相当多的学生仍在犯这样荒唐的错误。

在初中，很多学生认为“对角线相等且互相垂直的四边形是正方形”，“一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形”，其实，这两个命题都是错误的。

如图1，AC=BD，ACBD，但四边形ABCD不是正方形。

如图2，在等边三角形ABE中，BC≠CE，又ACD？艿CAE，则四边形ABCD满足一组对边和一组对角分别相等，但该四边形不是平行四边形。

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3.否定命题结论的主要方法

要否定一个命题，可用归谬法或反证法。但最有说服力的简单方法还是举反例。长期以来，人们一直认为，一个函数和它的反函数，如果有交点，其交点一定在直线y=x上，甚至有许多刊物上也登载这类文章，并用它作为定理来解f（x）=f-1（x）一类方程的依据。其实，函数y=f（x）与y=f-1（x）的图象的交点未必在直线y=x上。我们来看一个函数y=■它的反函数是y=■，点（1，2）和点（2，1）都在两个函数的图象上，当然这两个函数也有一个交点（■，■）在直线y=x上。当然，我们可以举出这样的反例，一个函数和它的反函数的交点在直线y=x上没有公共点，而它们的公共点关于直线y=x对称。

在很多书中和高考模拟试题中，都会出现这样的命题“等比数列{an}共有3n项，其前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也是等比数列”。其实这个命题是不正确的。如果等比数列的公比为-1，前2项和、中间2项和、最后项和均为0，显然不是等比数列。

构造反例并运用是数学学习必不可少的基本功，构造反例有利于缜密思考，纠正错误结论，澄清模糊概念，开拓数学新领域，培养学生发散性思维及创造性思维的能力；有利于培养学生良好的思维品质和良好的学习习惯。我们在数学教学过程中，要重视这一技能的培养和训练。

（作者单位：江西省横峰县港边乡港边中学）