反例在独立性问题教学中的应用

摘 要：在概率论教学过程中基于独立性的若干问题，通过实例对相关命题作出简洁直观的说明。

关键词：反例；概率论；应用

0 引言

概率论作为一门研究随机现象数量规律的课程，相对于其它数学类课程，其中众多概念具有高度的抽象性。在教学实践中我们发现，对于某些知识点譬如独立性从正面讲述、证明，学生并不能很好地理解，往往停留在一知半解的层面上。特别地，学生对诸多命题不仅不能正确的理解，有时甚至产生一些错觉，认为这样说是对的，那样说也不错。我们在教学中适当引入反例，发现对学生的学习有很大的帮助、有很好的指导作用。在概率论的教学实践中关于独立性的若干问题很容易出现错误的命题，就此我们结合反例予以说明。

1 反例

1.1 若事件Ak,k=1,2,…,n相互独立，则它们一定两两独立，但反之不然

事件Ak,k=1,2,…,n两两独立，是指其中任意两个Ai,Aj之间都有关系式

成立。而事件相互独立的定义见[1]。

例1[2]、将一个均匀的正四面体的第一面染上红黄蓝三色，将其它三面分别染上红、黄、蓝色，设A，B，C分别表示掷一次四面体红色、黄色、蓝色与桌面接触的事件，则显然

这表明事件A，B，C两两独立，但是不相互独立。

1.2 P（ABC）=P（A）P（B）P（C） 不一定推出A、B、C相互独立

例2、设Ω={1,2,3,4,5,6,7,8} ，且在每一点的概率都为1/8 。考虑事件A1={1,2,3,4}，A2=A3={1,5,6,7}，则P（A1）=P（A2）=P（A3）=1/2，A1A2A3={1}，P（A1A2A3）=1/8=P（A1）P（A2）P（A3），然而A2与A3之间显然不独立。

1.3 若干个随机变量两两独立不相互独立

例3、有4张卡片，各有数字112，121，222，211.随机变量X1,X2,X3分别表示随机抽取的某张卡片上第一、第二、第三位数字。取四张卡片的概率相等。由于

所以随机变量X1,X2,X3两两独立。但由于

故随机变量X1,X2,X3不相互独立。

1.4 若两个随机变量X与Y相互独立各自期望存在，则有E（XY）=E（X）E（Y）。反之不然

例4、设随机变量Z服从[0,2π]上的均匀分布

于是E（XY）=E（X）E（Y），即X,Y不相关，而X,Y满足X2+Y2=1 ,所以X,Y不独立。

1.5 两两独立不符合传递律

设三个事件A，B，C。若A与B独立，且B与C独立，则A与C独立，我们就说A，B，C的独立关系符合传递律。两两独立不符合传递律。

例5、考虑有两个孩子的家庭全体，假定生男孩和生女孩是等可能的，因而样本空间可设为

Ω={（b,b）,（b,g）,（g,b）,（g,g）}，其中b=男孩，g=女孩。每一对里的次序是指出生的次序，四点中每一点出现的概率为1/4。现在随机地选择这样一个家庭，并考虑下面三个事件：

A=“第一个孩子是男孩”，B=“两个孩子不同性别”，C=“第一个孩子是女孩”，

则有

计算可得

即A与B独立，B与C独立。但是，

因此事件A与C不独立，这样便有，A，B，C的独立关系不符合传递律。

1.6 随机变量相互独立则它们必然不相关，反之则不然

例6、设随机变量X的概率密度函数是偶函数，且EX2

1.7 随机变量不独立而其函数独立

众所周知，正态分布有一个特性：任何n（n>1） 维的正态分布的随机变量，可以由坐标轴的旋转变为一组n个独立的正态分布的随机变量。这说明了，对n=2，即使X,Y不独立，但当（X,Y）服从正态分布时，随机向量（U,V） ：

服从正态分布：

只要适当的选择α：

则B=0, 此时U,V独立。

2 结束语

在概率论课程教学中，恰当地使用反例，引导学生从反面思考问题，将有助于教学质量的提高和学生数学素养的培养。

参考文献：

[1] 李贤平.概率论基础（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2010.

[2] 孙荣恒.应用概率论（第二版）[M].科学出版社，北京，2001.

[3] 茆诗松等.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

[4] 张朝金.概率论中的反例[M].西安：陕西人民出版社，1984.

项目支持：井冈山大学校级项目（XJJG-11-28）