时间:2022-10-23 11:09:59
纵观2011年各地中考试题中的应用题,有不少数学问题越来越贴近生活,而且还需要借助于“解直角三角形”的知识,下面介绍四种在中考题中常见的利用“解直角三角形”求线段长的方法.
一、 一测点和一角度求线段的方法
(2011年潍坊市中考题)今年“五一”假期,某数学活动小组组织一次登山活动,他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点,再从B点沿斜坡BC到达山巅C点,路线如图1所示.斜坡BC的长为400米,在C点测得B点的俯角为30°.已知C点海拔721米,求B点的海拔.
解如图1,过点C作CFAM,F为垂足,过点B作BEAM,BDCF,垂足分别是E、D.
在C点测得B点的俯角为30°,
∠CBD=30°,且BC=400米.
CD=BC×sin∠CBD=400×sin30°=400×=200米.
BE=DF=CF-CD=721-200=521米.
答:B点的海拔521米.
二、一测点两角度求线段的方法
(2011年大连市中考题)如图2,某建筑物BC上有一旗杆AB,小明在与BC相距12m的F处,由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°.求旗杆AB的高度.
(结果精确到0.1m.参考数据:≈1.41,sin52°≈0.79,tan52°≈1.28)
解如图2,过点E作EDAC,D为垂足.
由E点观测到旗杆底部B的仰角为45°,
∠BED=45°,且DE=12米,
BD=DE×tan∠BED=12×tan45°=12×1=12米.
又 由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°,
∠AED=52°,且DE=12米,
AD=DE×tan∠AED=12×tan52°≈12×1.28=15.36米,
AB=AD-BD=15.36-12=3.36米.
答:旗杆AB的高度3.36米.
三、 两测点两角度求线段的方法
(2011年南京市中考题)如图3,某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度,他们借助一个高度为30米的建筑物CD进行测量,在点C处塔顶B的仰角为45°,在点E处测得B的仰角为37°(B、D、E三点在一条直线上).求电视塔的高度h.
(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
解 在RtECD中,tan∠DEC=,
EC=≈=40米.
又 在RtBAC中,∠BCA=45°,
BA=CA.
又 在RtBAE中,tan∠BEA=,
=0.75,解得:h=120米.
答:电视塔高度约为120米.
四、 两测点四角度求线段的方法
(2011年无锡市中考题)如图4,一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行,在航线AB的正下方有两个山头C、D.飞机在A处时,测得山头C、D在飞机的前方,俯角分别为60°和30°.飞机飞行了6千米到B处时,往后测得山头C的俯角为30°,而山头D恰好在飞机的正下方.求山头C、D之间的距离.
解过C作CEAD于E.
在ABD中,∠ABD=90°,∠BAD=30°,AB=6,
AD===4.
又 在ABC中, ∠BAC=60°,∠ABC=30°,AB=6,
∠ACB=90°,AC=AB×sin∠ABC=AB×sin30°=6×=3.
又 在ACE中, ∠AEC=90°,∠EAC=∠BAC-∠BAD=60°-30°=30°,AC=3,
CE=AC×sin30°=3×sin30°=3×=,
AE=AC×cos30°=3×=.
又 在CDE中, ∠CED=90°,DE=AD-AE=
4-=,
根据勾股定理有:CD====.
答:山头C、D之间的距离是千米.
无论有几个测点测出几个角度来,求生活中的线段的长度,均需从图中分离出所求线段为边的直角三角形,并运用解直角三角形,特殊角的三角函数,勾股定理等知识来解决问题.