利用隐函数定理解高考中二次曲线的切线问题

导数给高中数学增添了新的活力，也是高考的热点内容.纵观历年高考，有很多导数试题与高等数学中的隐函数导数有关.本文是在高三备考复习中，对近些年来全国和若干省（市）高考数学卷中的把关题和压轴题做一些简单分析，旨在为备考初等数学与高等数学的衔接知识方面起抛砖引玉的作用.

一、隐函数定理

设函数F（x，y）在包含（x0，y0）的一个开集上连续可微，并且满足条件F（x0，y0）=0，Fy（x0，y0）≠0，则存在以（x0，y0）为中心的开方块D×E（D=（x0-δ，x0+δ），E=（y0-η，y0+η）），使得（1）对任何一个x∈D，恰好存在唯一的一个y∈E，满足方程F（x，y）=0.这就是说，方程F（x，y）=0确定了一个从D到E的函数y=f（x）；（2）函数y=f（x）在D连续可微，它的导数可按下式计算dydx=-Fx（x，y）Fy（x，y）.

二、问题

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）.（Ⅰ）点P（x0，y0）是椭圆C上一点，求过P点的椭圆C的切线方程；（Ⅱ）点P（x0，y0）是椭圆C外一点，过P引椭圆C的切线PA、PB，点A、B为切点，求直线AB的方程.

解：（Ⅰ）根据隐函数定理f′（x）=dydx=-2xa22yb2=-xb2ya2，过P的切线斜率k=-x0b2y0a2，

过P的切线方程为y-y0=--x0b2y0a2（x-x0），整理得x0xa2+y0yb2=1.

（Ⅱ）设切点A（x1，y1）、B（x2，y2），由（1）知切线PA：x1xa2+y1yb2=1，切线PB：x2xa2+y2yb2=1，由直线PA、PB的交点为P（x0，y0），所以直线AB的方程为x0xa2+y0yb2=1.

三、推广

命题1 已知圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2.（1）点P（x0，y0）是圆C上一点，则过P点的圆C的切线方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

（2）点P（x0，y0）是圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2外一点，过P引圆C的切线PA、PB，点A、B为切点，则直线AB的方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

命题2 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）.（1）点P（x0，y0）是双曲线C上一点，则过P点的双曲线C的切线方程为x0xa2-y0yb2=1.（2）点P（x0，y0）是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）外一点，过P引双曲线C的切线PA、PB，点A、B为切点，则直线AB的方程为x0xa2-y0yb=1.

命题3 已知抛物线C：x2=2py（p>0）.

（1）点P（x0，y0）是抛物线C上一点，则过P点的抛物线C的切线方程为x0x=2p・y0+y2.

（2）点P（x0，y0）是抛物线C：x2=2py（p>0）外一点，过P引抛物线C的切线PA、PB，点A、B为切点，则直线AB的方程为x0x=2p・y0+y2.

四、在高考中的应用

图1【例1】 如图1，以椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的中心为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆.过椭圆右焦点F（c，0）（c>b）作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A.连结OA交小圆于点B.设直线BF是小圆的切线.（Ⅰ）证明c2=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；（Ⅱ）设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明OP・OQ=12b2.

解：（Ⅰ）F（c，0），则A（c，b），所以OA的方程为y=bcx.

由y=bcx，

x2+y2=b2得B（bca，b2a），

则根据隐函数定理，小圆O在B点的切线BF的方程为bcax+b2ay=b2，又该切线过点F（c，0），

所以c2=ab，M（0，a），

（Ⅱ）由（1）知切线BF的方程为cx+by=ab，

由方程组x2a2+y2b2=1，

cx+by=ab，

得x1x2=a4b-a2b3a3+b3，y1y2=a2b3-a3b2a3+b3，

x1x2+y1y2=a4b-a2b3a3+b3+a2b3-a3b2a3+b3

=a3b（a-b）（a+b）（a2-ab+b2）.

又c2=ab，a2=b2+c2，a2=b2+ab.

a+b=a2b，a-b=b2a.

x1x2+y1y2=a4b-a2b3a3+b3+a2b3-a3b2a3+b3

=a3b（a-b）（a+b）（a2-ab+b2）=12b2，

所以OP・OQ=x1x2+y1y2=12b2.

图2【例2】 在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1（0，-3）和F2（0，3）为焦点、离心率为32的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量OM=OA+OB.求点M的轨迹方程.

解：根据题意，椭圆半焦距长为3，半长轴长为a=ce=2，半短轴长b=1，即椭圆的方程为x2+y24=1.

设点P坐标为（cosθ，2sinθ）（其中0

所以点M的轨迹方程为（1x）2+（2y）2=1（x>0且y>0）.

评析：例1是过圆上的点作圆的切线，例2是过椭圆上的点作椭圆的切线，都是研究切线的直线方程，是命题1的应用.

【例3】 如图3，设抛物线方程为x2=2py（p>0），M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.

（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；

（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，|AB|=410，求此时抛物线的方程；

（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py（p>0）上，其中点C满足OC=OA+OB（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

解：（Ⅰ）证明：由题意设M（x0，-2p），则根据隐函数定理，直线AB的方程为x0x=2p×-2p+y2，即x0x-py+2p2=0.

由x0x-py+2p2=0，

x2=2py得x2-2x0x-4p2=0，①

图3即2x0=x1+x2.

所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x0=2时，

直线AB的方程为2x-py+2p2=0，

方程①即为x2-4x-4p2=0，

因此x1+x2=4，x1x2=-4p2，kAB=2p.

由弦长公式得|AB|=1+k2（x1+x2）2-4x1x2=1+4p216+16p2.

又|AB|=410，所以p=1或p=2，

因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y.

（Ⅲ）由（Ⅰ）知x1+x2=2x0，则y1+y2=2x20+4p2p.

由题意得C（x1+x2，y1+y2），即C（2x0，2x20+4p2p）.

当x0=0时，则x1+x2=2x0=0，此时，点M（0，-2p）符合题意.

当x0≠0时，设D（x3，y3），由题意可得x23=2py3，

y3-2x20+4p2px3-2x0=-px0，

x0x3+2x02-py3+2x20+4p2p2+2p2=0.

解关于x0，x3，y3的方程组，经验检该方程组无解.

所以x0≠0时，不存在符合题意的M点.

综上所述，仅存在一点M（0，-2p）符合题意.

图4【例4】 设点P（x0，y0）在直线x=m（y≠±m，0

解：（Ⅰ）设A（xA，yA），N（xN，xN），AN垂直于直线y=x，则，yA-xNxA-xN=-1，xN=xA+yA2，

N（xA+yA2，xA+yA2）.设G（x，y），则

x=1m+xA+xA+yA23=13m+12xA+16yA，

y=xA+yA2+yA3=16xA+12yA，

解得xA=94x-34y-34m，

yA=-34x+94y+14m，

代入双曲线方程x2-y2=1，并整理得9（x-13m）22-9y22=1，即G点所在的曲线方程为（x-13m）229-y229=1.

（Ⅱ）设P（m，y0），则根据隐函数定理得

过P的双曲线切线方程为mx-y0y=1，

又M（1m，0）满足上述方程，

A、M、B三点共线.

点评：例3是过抛物线外一点作抛物线的两切线，例4是过双曲线外一点作双曲线的两切线，都是研究切点弦所在的直线方程，是以上命题（2）的应用.

五、评析

（1）在近几年高考试题中有关过曲线上点的切线、曲线外一点引曲线的两切线的切点弦问题出现频率高，而且以压轴题为主.（2）用隐函数定理解这种题型比用常规方法（判别式法、转化为求导数、解方程组等）要省事.（3）这种题型具有明显的高等数学背景，它对进一步学习高等数学来说是非常必须的，具有较好的选拔功能，同时也具有导学和导教功能.