三角函数中的不等式

摘 要：和学生一起探讨，得到了三角函数中的一个不等式，sinx

关键词：正切曲线与正弦曲线；三角函数图像；不等式；几何证明

有学生来问，y=tanx和y=sinx的图像如何，有没有交点？我说有啊，当x=0时，tanx=0，sinx=0，两者交于（0，0）。同理，当x=π时，两者交于（π，0）……根据正切曲线和正弦曲线的周期性，两者交于（k，π）（k∈c），有无穷多个交点。

学生急切地再问，他想知道的是有没有其他的交点，比如在区间（0，■）上，y=tanx的图像是一直在y=sinx的上方呢，还是有一段重叠的，还是有交点呢？

我说，这个我们可以利用单位圆来研究，θ∈（0，■），如图1：

由图可知，|PM|=sinθ，|AT|=tanθ，显然|AT|>|PM|，所以tanθ>sinθ，即在（0，■）上，y=tanx的图像始终在y=sinx的上方，且随着θ的逐渐增大，两者的差距越来越大。

学生明白了，刚开始由于θ很小，tanθ与sinθ的差很小，看起来两者的图像好像在一起，但tanθ始终大于sinθ，所以y=tanx的图像是一直在y=sinx的上方。

我又引导学生回到最初的问题，y=tanx和y=sinx的图像如何，会画了吗？

学生回答，两者的图像交于（kπ，0）（k∈c），在（0，■）上，y=tanx的图像始终在y=sinx的上方，又因为它们都是奇函数，所以在（-■，0）上，y=tanx的图像始终在y=sinx的下方，其他的范围都很简单，根据周期性来画就可以了。

我总结说，也就是说在（0，■）上的图像最重要，那么我们可以深入地研究这一范围的图像。我告诉他在图1中，我们还可以找出一个量，它的值始终小于|AT|，大于|PM|。

学生开始认真思考，他猜想是■吗？看起来好像是|PM|

我说，非常棒，希望他能证明。

学生说，这是个连不等式，把它拆成两半，先证明|PM|

我说，好的，很不错，继续。

学生认为：|PM|

我说，很好，证明没问题，不过我想再给他介绍一个证明方法，开阔一下他的思路。如图2：

做P关于OA的对称点P′，由于PMOA和对称的性质，P、M、P′三点共线，P′在圆周上，所以|PP′|=2|PM|， |■′|=2|■|。因为两点之间线段最短，所以|PP′|

学生认为，这个证明好赞，那|■|

我说，对呀，那么怎么办呢？想想，对了，面积，我们可以试着从面积着手。

学生说，不管|■|怎么凹，只要它与|AT|不重合，那么三角形OAT的面积始终大于扇形OPA的面积，S■=■|OA|・|AT|，利用弧度制一章学过的扇形面积公式，S■=■|OA|・|■|，因为S■

我说，非常好，证明很棒，现在有什么感觉吗？

学生感觉这个证明真好玩，心里有一股成就感。

我说，还有更好玩的呢，你把刚才用几何方法证明的那个不等式翻译成代数语言来看。

学生说，他是在一个单位圆中进行证明的，所以|PM|=sinθ，|AT|=tanθ，同时又问道|■|是什么呢？

我说，对呀，|■|是什么呢，这可是关键呢！

学生根据弧度的定义，认为在单位圆中，|■|=θ，|PM|

我说，嗯，非常好，那么反映在图像上呢？

学生说，sinθ

我说，数学中还有非常多的好玩又神奇的东西。比如今天我们得到的这个不等式，当，x∈（0，■）时，sinx

学生说一下思考了这么多东西，真得好好整理一下。

我说，嗯，加油，再接再厉，再见！

（作者单位：广东省东莞市塘厦中学）