巧用三角函数关系证明不等式

不等式的证明是中学数学的一个难点问题，难在题型可灵活多变，方法丰富多样，但好的方法会提高解题的效率。巧用三角函数关系证明不等式，实则是采用三角换元法，而三角换元法的核心在于挖掘题干中隐藏的三角关系，从而巧妙的设三角换元。具体而言，需要读者细心观察题干和所证命题的特征及联系，充分联想三角函数的性质和公式，确定恰当的三角变换，注意变换后相应的半径与角度的取值范围，代入原所证命题后易于求证。本文仅针对代数不等式，围绕常用的三角函数关系――“倒数关系”和“平方关系”做一些肤浅的探讨。下为简便起见，主题干中相应三角变换后半径和角度所满足的区间省略。

一、巧用“倒数关系”――“tanθ・cotθ=sinθ・cscθ=cosθ・secθ=1”

若条件中有xy≤t（或≥t），可考虑做如下之一变换：

（1）x=r1tanθ，x=r2cotθ； （2）x=r1sinθ，x=r2cscθ；

（3）x=r1cosθ，x=r2secθ。

例1：已知x，y∈R+，xy=2，求证： 。

证明：设x=tanθ，y=2cotθ （θ∈（0， ）），

二、巧用“平方关系”之一：“sin2θ+cos2θ=1”

1.若条件可化为 ，可考虑做变换

。

例2：已知实数x，y满足x2+3y2=6y，证明：-4≤x2-y2≤。

证明：条件可变形为 ，设x=√3sinθ，y=1+

cosθ（θ∈[0，2π]），则x2-y2=3sin2θ-（1+cosθ）2=-4（cosθ+）2

+ ，易知-4≤x2-y2≤ 。

2.若条件有x，y∈R+，且x+y≤t（或≥t），可考虑做变换x=rsin2θ，y=rcos2θ。

例3：已知x，y∈R+，且x+y≤1，证明：|3x2-2xy-3y2|≤3。

证明：设x=rsin2θ，y=rcos2θ（0＜r＜1），则3x2-2xy-3y2=r2（3sin4θ-

3cos4θ-2sin2θcos2θ）= r2[3（sin2θ

-cos2θ）（sin2θ+cos2θ）-2（1-cos2θ）cos2θ]=r2[2（cos2θ-2）2-5]。

易知|3x2-2xy-3y2|≤3。

3.若题干中含有诸如b2-（x-a）2，√b2-（x-a）2，a-x， √a-x，的因子，可考虑做类似（1）与（2）中的变换。

三、巧用“平方关系”之二：“sec2θ

-tan2θ=csc2θ-cot2θ=1”

1.若条件可化为 ≤（或

≥）r2，可考虑做变换

，。

例4：已知y≠0且x2-y2=1，证明：

。

证明：设x=secθ，y=tanθ（θ≠kπ

+，kπ（k∈Z）），则

=|(secθ-cosθ)(tanθ+cotθ)cos2θ|

= 。

2.若条件有x，y∈R+且x-y≤（或≥）t，可考虑做变换x=

rsec2θ,y=rtan2θ或x=rcsc2θ,y=rcot2θ。

例5：已知x＞1，y＞0，x-y=1，

证明： 。

证明：设x=sec2θ，y=tan2θ（θ∈（0，）），则

= 。

因θ∈（0，），故命题得证。

上述虽然总结了几条规律，但不足以概括三角换元法全貌，以祈读者能有更多更深的思考。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文