超声波马达的等效电学模型

【摘 要】设计了一种新型双面齿行波超声波马达，使用有限元软件ANSYS8.0，对该马达的压电陶瓷进行了有限元建模，求出了其前9阶的等效动态电容电感值，得到了压电陶瓷的有限元等效电学模型。

【关键词】超声波马达；有限元；电学模型

1.引言

在双面齿马达设计的基础上，通过实验，发现超声波马达在运行时，压电陶瓷上所加的驱动电压并不高（交流电压峰-峰值72V），但是陶瓷两个分区之间却有很高的电压信号（240V-500V）。作为超声波马达最重要的驱动部分的压电陶瓷在马达运行时的这种特殊现象在国内外的相关文献上还没有解释。考虑到一般的国内外对超声波马达压电陶瓷的研究几乎都局限在其静态部分，而没有考虑压电陶瓷的等效动态电容动态电感的影响。因此，建立了压电陶瓷的有限元等效电学模型来对压电陶瓷的动态性能进行分析，以解释压电陶瓷在马达运行时的这种特殊现象，为马达驱动提供依据。并且通过更深一步探讨，能够得到压电陶瓷在振动中的能量分配问题。这对马达的进一步研究有着重要的理论和现实意义。

2.双面齿行波超声波马达

在诸多类型的超声驱动器中，圆板和圆环行波超声波马达以其结构简单、控制性能好等优点发展最快。在本文中设计的超声波马达采用双面齿定子与双转子的圆板结构。定子双面贴陶瓷，双面有齿，两个转子对称布置于定子两侧。这样，定子双面受压电陶瓷的激励，可产生大的输出力矩。而且，结构对称，不易随温度变化产生热变形。美国航空航天局正在研制这种双面齿双转子行波超声驱动器，并打算用于下一代的火星登陆机器人的关节驱动。但是他们研制的马达“定子”是转动的，“转子”是固定不动的，因此不能直接用导线给定子通电，而必须加一个具有三个通路的导电滑环来给定子上的压电陶瓷通以两路超声频率交变电压信号。这样一来，驱动器的结构变得比较复杂，并且导电滑环还增加了摩擦阻力，降低了可靠性[1]。本文设计的马达克服了以上缺点，马达结构见图1和图2。

图1 马达配件图 图2 马达装配图

3.压电陶瓷有限元等效电学模型

如图3所示，在ANSYS中分析压电陶瓷的有限元等效电学模型相当于分析由电流源激励的电阻的情况。首先执行静态分析，得到压电陶瓷的等效静态电容。然后执行模态分析，得到压电陶瓷的振动模态和谐振频率，并求得压电陶瓷的等效动态电容电感值。接着执行瞬态分析求得压电陶瓷及其等效电学模型的电流-时间关系。最后通过谐响应分析得到压电陶瓷及其等效电学模型的电压-频率关系。

在ANSYS分析中，选用具有机电耦合特性的SOLID226和CIRCU94单元进行压电陶瓷的等效电学分析。SOLID226每个单元有20个节点，每个节点具有X、Y、Z、VOLT四个自由度。具有大变形，高刚度和硬度。SOLID226单元具有结构、电、压阻和压电性能，在这里使用其压电特性， KEYOPT（1）=1001。是电学分析中典型的压电耦合场分析应用单元。CIRCU94是压电分析中的电路单元，可以和SOLID226结合使用，应用于谐响应分析和瞬态分析中。通过设置KEYOPT（1）的值可以仿真5个电路元件：KEYOPT（1）=0，电阻元件；KEYOPT（1） =1，电感元件；KEYOPT（1） =2，电容元件；KEYOPT（1） =3，电流源；KEYOPT（1） =4，电压源。

图3 压电陶瓷电学模型

在压电陶瓷的模态分析中找到所需要的振动模态的谐振频率点，在该点进行谐响应分析。在模态分析中应用下面的公式决定第i阶动态电容和第i阶动态电感

（1）

（2）

（3）

式中，表示压电陶瓷第i阶谐振时在其电极上的电荷值。在该分析中，一共计算了9阶谐振频率。表1给出了ANSYS计算得出的前9阶等效动态电容和等效动态电感值。在瞬态分析中，将压电陶瓷近似为一个电容，如图4所示。

表1 压电陶瓷前9阶谐振的等效电容电感值

阶数 1 2 3

等效电容（nf） 3.646×10-7 3.219×10-7 1.132×10-6

等效电感（H） 1.717×105 1.913×105 4.640×104

阶数 4 5 6

等效电容（nf） 1.716×10-10 3.786 9.831×10-8

等效电感（H） 3.049×108 1.304×10-2 4.562×105

阶数 7 8 9

等效电容（nf） 1.040×10-7 5.846×10-6 5.245×10-6

等效电感（H） 4.313×105 7.454×103 8.073×103

图4 等效瞬态分析电路

等效静态电容是在静态分析中得到的，瞬态分析中所用到的电阻和分析时间确定为

（4）

（5）

表2分别为压电陶瓷、等效电学模型以及由拉普拉斯方法得到的分析模型的电流值，图5为这三个模型的电流-时间曲线图。可见，电流值非常接近，三条曲线基本重合，可以验证等效电学模型在瞬态分析中的正确性。

表2 瞬态分析结果

时间（ms） 电流（mA）

压电陶瓷电路 等效电路 分析电路

0.0040 0.0588 0.0385 0.0392

0.0320 0.2526 0.2733 0.2739

0.0600 0.4426 0.4508 0.4512

0.0880 0.5986 0.5849 0.5852

0.1160 0.6917 0.6863 0.6865

0.1440 0.7505 0.7629 0.7631

0.1720 0.8307 0.8208 0.8209

0.2000 0.8541 0.8646 0.8647

图5 瞬态分析电流-时间曲线

在模态分析得到的9阶谐振频率中，第6阶谐振频率23765Hz为这里所要求的振动模态。因此，在这里选择在该频率点进行谐响应分析。如图6所示为谐响应分析在第六阶谐振频率点的等效电路。

用ANSYS软件建立的谐响应分析的有限元分析模型如图7所示，图8为压电陶瓷等效电学模型的一个LC串联支路有限元分析图。已经建立的分析模型包括了压电陶瓷谐响应分析模型和压电陶瓷等效电学模型的谐响应分析模型。

图6 第六阶共振频率点的等效谐响应电路

图7 谐响应分析有限元模型 图8 LC串联支路的有限元分析模型

图9为谐响应分析在第六阶谐振频率点附近的电压-频率曲线，两条曲线分别为压电陶瓷和等效电学模型的电压-频率曲线，两条曲线基本吻合，验证了等效电学模型在谐响应分析中的正确性。从而，进一步验证了所建立的等效电学模型的正确性。

图9 谐响应分析电压-频率曲线

4.等效电路Simulink仿真

通过前两节的分析，在MATLAB/Simulink中使用电力系统仿真模块集（Power System Blockset）对驱动压电陶瓷片的等效电路进行仿真。它提供一种类似电路建模的方式进行模型仿真，在仿真前将自动将其变化成状态方程描述的系统形式，然后在Simulink下进行仿真分析。

串联电感和等效静态电容取实验测试所得到的值，取有限元等效电路分析所得的前4阶等效动态电容和等效动态电感值。图10为压电陶瓷在Simulink中的仿真等效电路图。

图10 压电陶瓷仿真等效电路

超声波马达的驱动交流电压的峰-峰值为72V，驱动频率取为25.4KHz，因此交流电压源的参数设置如图11所示。如图12所示，在Simulation parameters菜单中设置仿真控制参数。仿真区间设置为10秒，因为这里是连续系统仿真，因此选用ode45变步长仿真算法。

图11 交流电压源参数设置 图12 仿真参数设置

如图13所示，在谐振频率区间，在驱动电压峰-峰值为72V的情况下，MATLAB/Simulink仿真结果压电陶瓷上的电压峰-峰值为260V左右，经过实验验证，在谐振频率及其附近区间内，驱动压电陶瓷上的电压峰-峰值在240V-300V的范围内。并且，实验中可以得到，在谐振状态下，压电陶瓷的电压是最低的，在反谐振频率点压电陶瓷上的电压会更大。这也说明，在实验中驱动电压值不能过高，否则，压电陶瓷上的电压将很大，将导致陶瓷过热甚至击穿。

图13 仿真结果

通过等效电路仿真，证明了压电陶瓷的有限元等效电路中所得到的等效动态电容、等效动态电感的正确性。进而，得到了压电陶瓷在谐振动情况下，电压的变化特点。现在电学模型只是解释了压电陶瓷的电压变化特点，如果更深一步探讨，应该能够得到压电陶瓷在振动中的能量分配问题。压电陶瓷在振动中的能量应该由三部分组成：输出的机械能，陶瓷的热能损耗，陶瓷在振动中的振动能。这对马达的进一步研究有着重要的理论和现实意义。

5.结论

通过有限元建模，求出了其前9阶的等效动态电容电感值，得到了驱动功能的压电陶瓷的有限元等效电学模型，并通过分析，验证了其正确性。得到了一种新型的超声波马达的等效电学模型。使用MATLAB/Simulink中的电力系统仿真模块集对驱动压电陶瓷片的等效电路进行仿真。得到了压电陶瓷在谐振动情况下电压的变化特点。

作者简介：

邓春江（1974.11月-）安徽理工大学本科毕业，高级讲师，1996年起一直从事机电类专业课的教学工作，现山东理工大学机电专业硕士在读。