空间曲线的切线计算方法

【摘要】研究计算空间曲线的切线方程的四种方法，给出求解思路，旨在使学生有更深的理解和掌握.

【关键词】空间曲线;切线;切向量;法向量

【中图分类号】O13

【基金项目】陕西省教育厅科研计划项目资助（2013JK1098）

空间曲线的切线是高等数学多元函数微分学几何应用的重要内容.教材[1]主要研究了计算空间曲线的切线方程的三种情形：参数方程、可化为参数方程和一般方程.为使学生能够深刻理解，下面将再研究计算空间曲线的切线方程的四种方法，给出求解思路，望初学者灵活使用.

为方便起见，我们假设空间曲线的切线和空间曲面的切平面均存在.

设空间曲线Γ为空间曲面∑1：F（x，y，z）=0和∑2：G（x，y，z）=0的交线，其一般方程为F（x，y，z）=0，

G（x，y，z）=0，M（x0，y0，z0）是曲线Γ上的一个点.

1.切线为两个切平面的交线

由切平面的性质，曲线Γ在点M处的切线既在曲面∑1在点M处的切平面上，也在曲面∑2在点M处的切平面上.曲面∑1在点M处的一个法向量取为n1=（Fx（x0，y0，z0），Fy（x0，y0，z0），

Fz（x0，y0，z0）），简记为n1=（Fx，Fy，Fz）.同理，曲面∑2在点M处的一个法向量取为n2=（Gx，Gy，Gz），则曲面∑1和∑2在点M处切平面方程分别为（x-x0）Fx+（y-y0）Fy+ （z-z0）Fz=0和（x-x0）Gx+（y-y0）Gy+（z-z0）Gz=0.故曲线Γ在点M处的切线方程为（x-x0）Fx+（y-y0）Fy+（z-z0）Fz=0，

（x-x0）Gx+（y-y0）Gy+（z-z0）Gz=0.

2.切向量取为两个法向量的向量积

由情形1，曲线Γ在点M处的切向量T既与n1垂直，也与n2垂直，从而可取T=n1×n2=ijk

FxFyFz

GxGyGz=（FyGz-FzGy，FzGx-FxGz，FxGy-FyGx）.由直线的对称式方程，故曲线Γ在点M处的切线方程为x-x0FyGz-FzGy=y-y0FzGx-FxGz=z-z0FxGy-FyGx.

引理 Γ1：Ax+By+Cz+D=0，

y=y0和

Γ2：Ax+By0+Cz+D=0，

y=y0表示同一条直线.

证明：设（x0，y0，z0）是Γ1和Γ2上一公共点，取Γ1在点（x0，y0，z0）处的切向量为T1=

ijk

ABC

010=-Ci+Ak，取Γ2在点（x0，y0，z0）处的切向量为T1=ijk

A0C

010=-Ci+Ak.又T1=T2，故Γ1和Γ2表示同一条直线.

特别地，对于一类特殊的空间曲线Γ1：z=f（x，y），

y=y0，其中f（x，y）具有连续偏导数，P（x0，y0，f（x0，y0））是Γ1上的一点.令Γ1的参数方程为x=x，

y=y0，

z=f（x，y0），则Γ1在点P处的切向量取为T1=1，0，df（x，y0）dxx=x0.又df（x，y0）dxx=x0=fx（x0，y0），则T1=（1，0，fx（x0，y0））.因此，Γ1在点P处的切线方程为x-x01=y-y00=z-f（x0，y0）fx（x0，y0），其一般方程为fx（x0，y0）（x-x0）-（z-f（x0，y0））=0，

y-y0=0.由上可见，偏导数fx（x0，y0）表示曲线z=f（x，y），

y=y0在点（x0，y0，f（x0，y0））处的切线相对应于x轴的斜率.同理，偏导数fy（x0，y0）表示曲线z=f（x，y），

x=x0在点（x0，y0，f（x0，y0））处的切线相对应于y轴的斜率.

注意到，Γ1在点P处的切线可以看成曲面z=f（x，y）在点P处的切平面与平面y=y0的交线.取曲面z=f（x，y）在点P处的法向量为（fx（x0，y0），fy（x0，y0），-1），则曲面z=f（x，y）在点P处切平面方程为fx（x0，y0）（x-x0）+fy（x0，y0）（y-y0）-（z-f（x0，y0））=0.即Γ1在点P处的切线的一般方程为

fx（x0，y0）（x-x0）+fy（x0，y0）（y-y0）-（z-f（x0，y0））=0，

y-y0=0再由引理，此切线的一般方程也可表示为

fx（x0，y0）（x-x0）-（z-f（x0，y0））=0，

y-y0=0

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（下册）[M].6版.北京：高等教育出版社，2007：94-96.