江苏连云港市板浦初级中学

对一元二次方程的深入探究，把我们对方程的学习带进了崭新的天地，它不仅使我们领略到一元二次方程丰富的解题策略，同时也更进一步推动了我们对方程概念内涵再认识.学习方程的妙处不仅仅在于学会了什么，而是我会学什么，那就是我能自觉地用数学的眼光看待生活，学会用方程的思想解决生活中的问题.

〖=D(〗一 、一元二次方程的定义〖=〗

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.它的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），注意这里的a≠0.

〖=D(〗二、一元二次方程的解法〖=〗

1．直接开平方法

此方法适用于形如ax2+c=0（a≠0）的方程，或把方程变形为（x+a）2=m的形式.当m＞0时，将方程两边同时开平方得，x+a=±m.即x1=-a+m；x2=-a-m.当m=0时，将方程两边同时开平方得，x1=x2=-a.当m＜0时，因为负数不能开平方，所以原方程没有实数根.

2．配方法

适用于形如ax2+bx+c=0（a≠0）的方程.在配方时，首先将常数项移到等号的右边，ax2+bx =-c，利用等式的性质，把二次项的系数化为1，即x2+bax=-ca，再在等式的两边加上一次项系数一半的平方，即x2+bax+（b2a）2= -ca+（b2a）2，使等式的右边配成一个完全平方式，（x+b2a）2=-ca+（b2a）2，即（x+b2a）2=b2-4ac4a2.然后用开平方法求出方程的根.

3．公式法

任何具有一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），在配方后都可以变形为（x+b2a）2=b2-4ac4a2，当b2-4ac≥0时，它的解都可以借助开平方的方法得到x=-b±b2-4ac2a.在这个式子中，a、b、c分别是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数、一次项系数及常数项.因此一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根也就由方程ax2+bx+c=0（a≠0）中各项的系数及常数项确定.需要明确的是，用公式法解一元二次方程，必须先将方程化为形如ax2+bx+c=0（a≠0）的一般形式，并进一步明确其中a、b、c所代表的是二次项系数、一次项系数及常数项各是多少，方可代入公式x=-b±b2-4ac2a，求x的数值.

4．因式分解法

就是将方程的等号右边化为零，等号的左边用因式分解的方法转化为两个一次因式的积的形式，因为当两个因式的积是零时，这两个因式中至少有一个值为零，所以一元二次方程便可以转化为两个一元一次方程，进而解得一元二次方程.在对等号的左边进行因式分解时，其中如提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等是最常用的分解方法，特别是用公式法分解，要严格对照公式进行分解.

〖=D(〗三、与一元二次方程的根有关的问题〖=〗

1．一元二次方程的根的判别式

当我们将形如ax2+bx+c=0（a≠0）的一元二次方程，用配方的方法化为（x+b2a）2=b2-4ac4a2时，如果发现了b2-4ac＜0时，负数没有平方根，方程两边就不能开平方，所以，方程也就没有实数根.这样看来，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有无实数根，则完全取决于b2-4ac的取值.当b2-4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a；当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根, x1=x2=-b2a；当b2-4ac＜0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实数根.

2．一元二次方程的根与系数的关系

对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），如果存在两个实数根：x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a，那么，x1+x2=-ba：x1?x2=ca.也就是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），如果存在实数根，那么的两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数.

3.一元二次方程的应用

列方程解应用题时，必须了解问题中的已知和未知，充分认识各种数量关系，准确把握等量关系.要善于抓住对解决问题起决定性的条件，认真分析各种数量关系.由于所列一元二次方程，解通常不止一个，合理地取舍必不可缺.只有这样，才能使解题过程从设未知数、列式、解方程、写答案到检验形成一套完整而严密的过程.