浅谈圆锥曲线类型题目解法

关键词 解析几何二次曲线圆锥曲线

高中解析几何主要学习了4种二次曲线（圆，椭圆，双曲线和抛物线），统称为圆锥曲线。而曲线的切线是其中一项重要的学习内容，是各类考试的出题的常用素材，在高考中也多次出现。

过曲线上一点（切点）引切线只有一条，而过圆锥曲线外一点（不包括在曲线内的点如圆内的点）引切线有2条。设圆锥曲线方程为：F（x，y）＝Ax2＋By2＋Cx＋Dy＋E＝0，点P（x0，y0）是该曲线上一点，设过P点该曲线的切线为直线L，下面推导切线L的方程：设切线L的方向向量是非零向量，坐标为（u，v），则L的参数方程是：代入F（x，y）＝0得：A（x0＋ut）2＋B（y0＋vt）2＋C（x0＋ut）＋D（y0＋vt）＋E＝0。整理为关于t的二次方程：（Au2＋Bv2）t2＋2（Aux0＋＋Bvy0＋）t＋F（x0，y0）＝0。显然，此方程只有一个实根，即＝0，而由于F（x0，y0）＝0，所以＝4（Aux0＋＋Bvy0＋）2＝0.即（Ax0＋）u＋（By0＋）v＝0（1），而切线L的普通方程为（x!x0）v!（y!y0）u＝0（2），方程（1）和（2）联立消去u与v可得到过圆锥曲线F（x，y）＝0上一点P（x0，y0）的切线方程为：（x!x0）（Ax0＋）＋（y!y0）（By0＋）＝0，由推导出的切线方程很容易可以得到：1.过椭圆x2／a2＋y2／b2＝1上任一点P（x0，y0）的切线方程：因为A＝1／a2B＝1／b2C＝D＝0E＝1，切线方程为：（x!x0）（x0／a2）＋（y!y0）（y0／b2）＝0化简得：x0x／a2＋y0y／b2＝1。同理可得：2.过双曲线x2／a2!y2／b2＝1上任一点Q（x1，y1）的切线方程为：x1x／a2!y1y／b2＝1；3.过抛物线y2＝2px上任一点Q（x2，y2）的切线方程为：y2y!px＝px2。

通过下列两例说明：在运用常规方法（参数法、交轨法等）所需引入参数较多，运算量大与运用导数求过曲线上点的切线斜率不适用的情况下，而灵活运用上述切线方程则能起到化难为易的效果。［例1］过抛物线y＝ax2（a＞0）焦点F的直线交抛物线于P，Q两点，求证：过P，Q两点的切线互相垂直。分析：根据两直线垂直的充要条件，只要求证两条直线的斜率乘积为!1.可由上述结论求得过P，Q两点的切线方程，再求得其斜率即可。解答：焦点F（0，），设P（x1，ax12），Q（x2，ax22），则过P，Q点的切线L1，L2方程分别为：L1：（x!x1）ax1＋（y! ax12）（!）＝0；L2：（x!x2）ax2＋（y!ax22）（!）＝0，分别化简得L1：ax1x!y＝ax12；L2：ax2x!y＝ax22，所以两条切线的斜率分别为：k1＝2ax1；k2＝2ax2。而PQ过F点，且PQ的斜率k显然存在，则有：（ax12!）／x1＝（ax22!）／x2，即得ax1x2（x1!x2）＝（x2!x1）有x1x2＝!1／4a2，k1k2＝2ax1＆＃8226；2ax2＝4a2＆＃8226；（!1／4a2）＝!1得证过P，Q两点的切线互相垂直。