时间:2022-10-20 08:00:20
本题源自于2013年重庆高考卷理科数学第10题,属中等偏难档次题,考查了平面向量模长的运算,由于该题技巧性较强,大部分考生很难找到解题的突破口,所以得分率不是很高.为此,笔者从三个视角对此题进行了深入探究,总结出了多种解法.
题目(2013年重庆)在平面上,AB1AB2,|OB1|=|OB2|=1,AP=AB1+AB2.若|OP1|
A.(0,52]B.(52,72]C.(52,2]D.(72,2]
视角1根据所给条件的垂直关系,不妨建立平面直角坐标系,通过向量的坐标运算解决问题.
解法1(坐标法)
因为AB1AB2,所以可以以A为原点,并分别以AB1,AB2所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系.
设B1(a,0),B2(0,b),O(x,y),
则AP=AB1+AB2=(a,b),即P(a,b).
由|OB1|=|OB2|,得(x-a)2+y2=x2+(y-b)2=1,
所以(x-a)2=1-y2≥0,(y-b)2=1-x2≥0.
由|OP|
即0≤1-x2+1-y2
所以74
所以|OA|的取值范围是(72,2],故选D.
视角2根据题意,不妨将题目所给条件全部转化为以O点作为起点的基向量表示,再利用所给关系列出不等式求解.
解法2(基向量法)
因为AB1AB2,所以AB1・AB2 =0,
所以(OB1-OA)・(OB2-OA)=0,
所以OB1・OB2=OA・(OB1+OB2-OA).
因为AP=AB1+AB2,
所以OP-OA=OB1-OA+OB2-OA,
所以OP=OB1+OB2-OA.
又|OB1|=|OB2|=1,
所以OP2=OB21+OB22+OA2+2OB1・OB2-2(OB1+OB2)・OA=12+12+OA2+2OA・(OB1+OB2-OA)-2(OB1+OB2)・OA=2-OA2.
又因为|OP|
所以74
故选D.
视角3根据题中所给的条件,挖掘向量问题的几何背景,将数量关系转化为几何关系,不妨尝试构造几何模型来解决向量问题.
解法3(构造圆)
由题意得点B1,B2在以O为圆心的单位圆上,点P在以O为圆心半径为12的圆内,又AB1AB2,AP=AB1+AB2,所以点A在以B1B2为直径的圆上,当P点与O点重合时,|OA|最大,最大值为2,当P点在半径为12的圆周上时,|OA|最小,最小值为72,故选D.
解法4(构造矩形)
由AB1AB2,AP=AB1+AB2,
可知四边形AB1PB2为矩形,如图1所示.
由|OB1|=|OB2|知点O在线段B1B2的垂直平分线上.在矩形AB1PB2中,易证|OA|2+|OP|2=|OB1|2+|OB2|2,从而0≤|OP|2=2-|OA|2
所以72