解决平面几何问题的好帮手――向量

中图分类号：G633.65文献标识码：A文章编号：1673-0992（2011）03-087-01

摘要：随着数学教育和新课改的不断发展与深入，向量进入高中数学课程为学生创新意识及实践能力的培养开辟了广阔天地。本文关注高中数学新课标教材中向量在解决平面几何问题中的作用。

关键词：平面几何；向量；好帮手

高中学生初涉向量，对向量在解决平面几何问题中的作用没有引起重视，由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，同时，向量兼有图形和数的优点，具有代数的抽象与严谨和几何的直观，运算简洁，富有新意，体现数形结合思想，向量是沟通代数，几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用。因此，可以用向量方法解决平面几何中的一些问题。

一、平面几何中的向量方法

1.证明线段相等，转化为证明向量长度相等。求线段的长，转化为求向量的模。

2.证明线段、直线平行，转化为证明向量平行。

3.证明线段、直线垂直，转化为证明向量垂直。

4.几何中与角有关的问题，转化为向量的夹角问题。

5.对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题，通常以相互垂直的两边所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，通过向量的坐标运算解决问题。

二、向量方法解决平面几何问题的三步曲

第一步、建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。

第二步、通过向量运算，研究几何元素之间的关系。

第三步、把运算结果“翻译”成几何关系。

如：探究：已知直角三角形的两直角边长分别为4和6，求两直角边中线所成钝角的余弦值。

本题若用平面几何方法解决很繁，但用向量知识解决则很简便。

又如：已知圆的方程为X2+Y2=4，定点Az6,0{，点P是圆上一动点，点N在PA上，且 PN=3NA羟蟮P的轨迹。

(利用向量求解简单易行)

向量在平面几何中的应用，主要是考虑利用向量的数量积解决涉及长度、夹角、平行、垂直等知识的问题，由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，它把一个思维过程变成了一个算法过程，学生可按一定的程序进行操作，从而降低了思考问题的难度，通过对不同解题方法的比较，感受到向量方法的优越性。因此，在教学实践中应注重培养学生多从向量角度思考问题，培养学生应用向量的意识。

参考文献：

【1】教育部制定：普通高中数学课程标准（实验），人民教育出版社。

【2】蔡上鹤高中数学“空间向量”部分教学问题，中学数学教学。