教材中的分类讨论题型赏析

摘 要：分类讨论的数学思想方法在中学数学中占据着不同寻常的地位，在教材中也随处可见分类讨论思想的身影。

关键词：分类讨论；高考；教材

分类讨论思想的应用在近几年来高考试题中处处可见，近几年的高考试题要求学生有较强的分类讨论意识，是解答高考试题常用的数学思想，而在我们的教材中分类讨论思想也被体现得淋漓尽致。

例1.（北师大版必修4第29页习题1-5B组第2题）请画出函数y=sinx-sinx的图象，你从图中发现此函数具备哪些性质？

【分析】去绝对值，利用正弦函数图象性质作图，从图象上讨论性质。

【解析】当sinx≥0时，y=0；当sinx

定义域：R；值域：[-2，0]；非奇非偶，最小正周期2π；

当x？缀[2kπ-π，2kπ-■]（k？缀Z）时，函数是减少的；

当x？缀[2kπ-■，2kπ]（k？缀Z）时，函数是增加的。

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【评价】题中含有绝对值，依据绝对值的概念进行分类讨论。

例2.（北师大版必修1第111页复习题三C组第1题）已知函数f（x）=loga（ax-1）（a>0，a≠1），

（1）求函数f（x）的定义域；

（2）讨论函数f（x）的单调性。

【分析】函数f（x）=loga（ax-1）是一个复合函数，原函数由y=logau，u=ax-1两个函数复合而成，涉及指数及对数函数的单调性，而已知条件中并未明确指出底数a与1哪个大，因此需要对底数进行讨论。

【解析】（1）当a>1时，ax单调递增，ax>1解得x>0，定义域为（0，+∞）；当01解得x

（2）当a>1时，y=logau单调递增，u=ax-1单调递增，函数f（x）=loga（ax-1）单调递增；当0

【评价】本题是由指数及对数函数的单调性而引起的分类。

例3.（北师大版必修2第98页复习题二C组第2题）两点A（1，0），B（3，2■）到直线l的距离均等于1，求直线l的方程。

【分析】考查直线方程的求法，要注意直线l与直线AB的位置关系。

【解析】（1）若直线l与直线AB平行，直线AB的方程为■x-y-■=0，由两直线距离等于1可得■=1。

解得：c=2-■或c=-2-■.

（2）若直线l过AB中点C（2，■），则设直线l的方程为y-■=k（x-2），点A（1，0）到直线l的距离等于1，则k=■，

直线l的方程为x-■y+1=0.

【评价】本题由于两条直线的位置关系可能出现平行或是相交，则需要对这两种位置关系分别进行讨论研究。

例4.（北师大版必修1第57页复习题二C组第2题）求二次函数f（x）=x2-2（2a-1）x+5a2-4a+2在[0，1]上的最小值g（a）的解析式。

【分析】判断二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，从图象中找出最值。

【解析】二次函数f（x）=x2-2（2a-1）x+5a2-4a+2的对称轴为x=2a-1，开口向上，

（1） 当2a-1≤0时，即a≤■，此时当x=0时，f（x）最小，g（a）=

f（0）=5a2-4a+2；

（2）当0

（3）当2a-1>1时，即a>1，此时当x=1时，f（x）最小，g（a）=f（1）=5a2-8a+5；

综上所述，g（a）的解析式为g（a）=5a2-4a+2（a≤■）a2+1（■1）

【评价】二次函数的对称轴位于给定区间的不同位置影响了最小值的取值，需要对对称轴与给定区间的位置关系进行分类讨论。这是由图象的位置变化引起的分类。

例5.（北师大版必修5第113页复习题三B组第2题）解关于x的不等式：（a-x）（x2-x-2）>0，其中常数a是实数.

【分析】这是一个含参数的不等式，参数a影响了三个根的大小关系，需要对三个根的大小进行讨论.

【解析】原不等式等价于（x-a）（x+1）（x-2）

（1）当a

（2）当a=-1时，不等式的解集为■

（3）当-1

（4）当a=2时，不等式的解集为■；

（5）当a>2时，不等式的解集为■。

【评价】本题的关键是确定对参数a分五种情况进行讨论，做到不重不漏。一般的，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论。

（作者单位 南昌大学附属中学）