运动错解案例分析

■ 案例一 如图1所示，人在岸上用绳索通过定滑轮牵引河中的小船，小船一直沿水面运动.在某一时刻绳索的速度为v0，绳AO段与水平面夹角为θ，不计摩擦和轮的质量，则此时小船的速度是多大？

对此问题，小明是这样分析的：

首先画出如图2（a）所示的示意图，由直角三角形的边角关系得出v=v0・cos θ.

然而，人拉绳索的功率与绳索拉船的功率应该是相等的，根据拉力的作用效果可以画出如图2（b）的分解，人拉绳索的功率为F・v0，按照小明的结论，却又得出绳索拉船的功率为F1・v=F・v0・cos2 θ. 问题出在哪里呢？原来，小明的错误就是把船速v误认为是分速度v0.

■ 解析 我们所研究的运动合成问题，都是同一物体同时参与两个分运动的合成问题，而物体相对于给定参考系（一般为地面）的实际运动是合运动，实际运动的方向是合运动的方向. 本题中，船的实际运动是水平运动，它产生的实际效果可以O点为例说明：一是O点沿绳的收缩方向的运动，二是O点绕A点沿顺时针方向的转动，所以船的实际速度v可分解为船沿绳方向的速度v1和垂直于绳的速度v2，如图3所示.

由图可知：v=■

这样绳索拉船的功率就是F1・v=F・v0，与人拉绳索的功率就一样了，符合事实.

还可以进行如下求解，如图4所示，设小船在很短的一段时间Δt内由O点运动到B点，OB即为小船的位移l，取AB=AC，则绳子的位移大小l1=OC，当Δt0时，θ0. 而ABC为等腰三角形，所以∠ACB趋近于90°. OCB可近似看成直角三角形，所以l1=l・cos θ.

当Δt不为零时，v0=■，v=■，

v0=vcos θ，故v=■.

可见，解决这类关于“关连”运动的速度分解时，关键是弄清楚哪一个是合运动，所以深刻理解合运动的概念显得十分必要. 我们一定要重视概念、理解概念、夯实基础.

■ 练习 如图5所示，物体A和B的质量均为m，且分别与轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮，B放在水平面上，A与悬绳竖直. 用力F拉B沿水平面向右匀速运动过程中，绳对A的拉力大小是（ ）

A. 大于mg

B. 总等于mg

C. 一定小于mg

D. 以上三项都不正确

■ 解析 物体B向右的速度vB是合速度，根据其效果，分解为如图6所示的两个分速度v1和v2，其中vA=v2. 又因v2=vBcos θ，当物体B向右运动时，vB大小不变，θ变小，cos θ增大，所以v2增大，即物体A向上做加速运动. 由牛顿运动第二定律得：FT-mg=ma. 所以绳的拉力FT=mg+ma>mg，选项A正确.

■ 练习 如图7所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m，当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度v′为多少？

■ 解析 物块M的实际运动是竖直运动，它产生的实际效果：一沿绳向下运动，二是绕滑轮沿顺时针方向的转动，所以将重物M的速度分解为沿绳方向向下的速度v′和垂直于绳的速度v″，如图8所示，由几何关系得出小车的速度v′=vcos θ.

■ 案例二 如图9所示，用细绳一端系着的质量M=0.6 kg的物体A静止在水平转盘上，细绳的另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3 kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2 m. 若A与转盘间的最大静摩擦力为F f =2 N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围. 取g=10 m/s2.

对此临界问题，常见错解是这样的：

1. 简单认为最小的角速度ω=0. 这样B静止，绳中拉力等于B的重力，大于A静止时所能提供的最大静摩擦力，出现了矛盾.

2. 只列方程mg-F f =Mω2r，这样只求出一解：ω2=2.9 rad/s. 这里首先列方程时应该隔离分析，方程是对A列的，但是mg的力却是B的重力；其次求解的是个范围，不是一个定值.

3. 列出方程：mg=Mω2r，解出ω=5 rad/s，认为这个是最大值. 没有考虑到静摩擦力方向的变化，与相对运动趋势相反，A的运动趋势有两种情况.

■ 解析 要使B保持静止，A必须相对于转盘保持静止――具有与转盘相同的角速度. A需要的向心力就是绳的拉力与静摩擦力的合力. 角速度取得最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心；角速度取得最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心.

对于B：T=mBg

对于A：T+F f =Mω21r

或T-F f =Mω22r

解得：ω1=6.5 rad/s，ω2=2.9 rad/s

所以2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s

处理临界问题，一定要搞清楚临界的条件到底是什么，有几个，受力分析还是最最重要的环节，然后再列出方程求解，要注意选择是用平衡方程还是牛顿运动定律方程.

■ 练习 在质量为M的电动机上，装有质量为m的偏心轮，飞轮转动的角速度为ω，当飞轮转轴中心在转轴正上方时，电动机对地面的压力正好为零. 则飞轮重心离转轴的距离多大？在转动过程中，电动机对地面的最大压力多大？

■ 解析 设偏心轮的重心距转轴为r，偏心轮等效为用一长为r的细杆固定质量为m（轮的质量）的质点，绕转轴转动. （如图10）

轮的重心在正上方时，电动机对地面的压力正好为零，此时是个临界！则此时偏心轮对电动机施加了向上的弹力F，大小等于电动机的重力，即F=Mg.

根据牛顿第三定律，此时轴对偏心轮的作用力向下，大小为F=Mg，其向心力为F+mg=mω2r.

由以上两式得r=■.

当偏心轮的重心转到最低点时，电动机对地面的压力最大，对偏心轮有F′-mg=mω2r

对电动机设它所受支持力为FN，FN=F′+Mg

由以上三式可得FN=2（M+m）g

由牛顿第三定律得，电动机对地面的最大压力为2（M+m）g.