功能关系中的连接体问题

用一根轻绳或轻杆将两个物体进行连接就组成了一个最简单的连接体，连接体问题是高中物理学习的一个难点. 下面我们结合一些具体实例，对连接体问题的求解思路和方法进行分析.

■ 例1 如图1所示，滑块A、B的质量均为m，A套在固定竖直杆上，A、B通过转轴用长度为L的刚性轻杆连接，B放在水平面上并靠着竖直杆，A、B均静止. 由于微小的扰动，B开始沿水平面向右运动. 不计一切摩擦，滑块A、B可视为质点. 在A下滑的过程中，下列说法中正确的是（ ）

A. A、B组成的系统机械能守恒

B. A运动到最低点时的速度为■

C. 在A落地之前轻杆对B一直做正功

D. 当A的机械能最小时，B对水平面的压力大小为2mg

■ 解析 将A、B和刚性轻杆组成一个系统，由于不计一切摩擦，因此在A下滑的过程中，只有重力对系统做功，系统机械能守恒，选项A正确；当A落到最低点时，速度方向向下，沿杆方向速度分量为零，则B速度为零，由A、B组成的系统机械能守恒，可得mgL=■mv2，v=■，选项B正确；又因为B的初速度和末速度均为零，所以B的速度先增大后减小，说明轻杆对B先做正功后做负功，选项C错误；当A的机械能最小时，B的机械能最大，则B的动能最大，速度最大，加速度为零，B所受的重力和水平面对B的支持力构成一对平衡力，它们大小相等，由牛顿第三定律可得，B对水平面的压力大小为mg，故选项D错误. 因此本题正确选项为AB.

■ 例2 如图2所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳（绳不可伸长）的一端，轻绳的另一端系一质量为m的有孔小球，小球穿在固定的光滑直杆上，小定滑轮与直杆的距离为d. 现将小球从与定滑轮等高的A处由静止释放，不计一切摩擦. 当小球沿直杆下滑距离也为d时（图中B处），下列说法中正确的是（重力加速度为g）（ ）

A. 小球释放后轻绳中的张力等于2mg

B. 小球到达B处时，重物上升的高度为（■-1）d

C. 小球在B处的速度与重物上升的速度大小之比为■

D. 小球减小的机械能等于重物增加的机械能

■ 解析 小球释放后重物将加速上升，绳中张力大于2mg，选项A错误；小球到达B处时，绳与杆间夹角为45°，重物上升的高度h=（■-1）d，选项B正确；对于“绳连接”问题，由于绳不可伸长，可将绳两端物体的速度沿绳方向和垂直于绳方向进行分解，其中两端物体沿绳方向的速度分量相等，因此在B处，小球沿绳方向的速度分量vcos45°和重物的速度u大小相等，即vcos45°=u，由此可得■=■，故选项C错误；由于不计一切摩擦，杆对小球的弹力不做功，所以小球和重物组成的系统机械能守恒，小球减小的机械能等于重物增加的机械能，选项D正确. 本题正确选项为BD.

■ 例题3 如图3所示，轻绳一端挂一质量m=1 kg的物体，另一端跨过定滑轮系在质量为M=2 kg的圆环上，圆环套在竖直固定的光滑细杆上，定滑轮和细杆相距l=0.4 m. 现将环拉至与定滑轮同一水平高度上由静止释放，且g=10 m/s2. 绳不可伸长. 求圆环下降h=0.3 m的过程中轻绳对物体m所做的功. （结果保留两位小数）

■ 解析 在圆环下降的过程中，物体上升，由于绳对物体的拉力为变力，不能用功的计算式W=Fs计算绳对物体所做的功. 本题选用动能定理进行求解. 圆环下降h=0.3 m的过程中，物体上升高度为h′=■-l=0.1 m，先将圆环和物体作为系统，可得Mgh-mgh′=■Mv2+■mu2，由于绳不可伸长，将圆环的速度v沿绳方向和垂直于绳方向进行分解，其中沿绳方向的速度分量与物体的速度大小相等. 设此时绳与杆间的夹角为θ，则cos θ=■=0.6，由此可得，vcos θ=u，解得u=■ m/s；再对物体运用动能定理，可得W-mgh′=■mu2，将u=■ m/s代入，求得W=■ J≈1.76 J.

■ 例4 如图4所示，一轻绳绕过无摩擦的轻质小定滑轮O与质量为5m的砝码相连，另一端与套在一根固定的光滑的竖直杆上质量为m的圆环相连，直杆上有A、C、B三点，且C为AB的中点，AO与竖直杆的夹角θ=53°，C点与滑轮O在同一水平高度，滑轮与竖直杆相距为L，重力加速度为g，设直杆足够长，圆环和砝码在运动过程中不会与其他物体相碰. 现将圆环由A点静止释放（已知sin53°=0.8，cos53°=0.6），试求：

（1） 砝码下降到最低点时，砝码和圆环的速度大小；

（2） 圆环能下滑的最大距离；

（3） 圆环下滑到B点时的速度大小.

■ 解析 （1） 砝码下降到最低点时，速度v1=0，此时圆环运动到C点，下降高度为hAC=■=■L，砝码下降高度为Δh=■-L=■L，将圆环和砝码作为一个系统，设圆环此时的速度为v2，由于摩擦不计，运用机械能守恒，可得mghAC+5mgΔh=■mv22，解之得v2=2■；

（2） 设圆环能下滑的最大距离为H，则当圆环下滑到最低点时，圆环和砝码的速度均为零，砝码上升的高度为

ΔH=■-■

=■-■，

由系统机械能守恒可知，圆环重力势能的减少量等于砝码重力势能的增加量，即mgH=5mgΔH，解得圆环能下降的最大高度为H=■L；

（3） 当圆环运动到B点时，下降的高度为hAB=2×■=■，由对称性可知，砝码回到原位置，设此时圆环的速度为v3，砝码的速度为v4，可得mghAB=■mv23+■×5mv24；由于绳不可伸长，将圆环的速度沿绳方向和垂直于绳方向进行分解，其中沿绳方向的速度分量和砝码的速度大小相等，可得v3cos53°=v4，两式联立，解得圆环下滑到B点时的速度v3=■.

■ 例5 如图5所示，竖直平面内放一直角杆，杆的水平部分粗糙，竖直部分光滑，两部分各套有质量分别为mA=2 kg和mB=1 kg的小球A和B，A球与水平杆间动摩擦因数μ=0.2，A、B间用不可伸长的轻绳相连，图示位置处OA=1.5 m，OB=2 m，g=10 m/s2.

（1） 若用水平力F1沿杆向右拉A，使A由图示位置向右极缓慢地移动0.5 m，则该过程中拉力F1做了多少功？

（2） 若用水平力F2沿杆向右拉A，使B由图示位置以1 m/s的速度匀速上升，则B经过图示位置上升0.5 m的过程中，拉力F2做了多少功？

■ 解析 （1） A向右移动sA=0.5 m，B将上升hB=0.5 m，由题中A、B极缓慢移动，可忽略A、B速度变化，将A、B作为一个系统，运用动能定理，可得外力所做总功为零，即W1-μ（mA+mB）gsA-mBghB=0，解得W1=8 J；

（2） B上升hB=0.5 m，A将向右移动sA=0.5 m，由于绳不可伸长，将绳两端小球A、B的速度沿绳和垂直于绳方向进行分解，其中沿绳方向的速度分量相等，运动开始时有：vA×■=vB×■，得vA=0.75 m/s，运动结束时有：vA′×■=vB×■，得vA′=■ m/s；做匀速运动，将A、B作为一个系统，运用动能定理，可得：W2-μ（mA+mB）gsA-mBghB=（■mAvA′2+■mBv2B）-（■mAv2A+■mBv2B），

解得W2≈6.8 J.

■ 总结 对于用轻杆或轻绳两端连接两个物体组成的连接体问题，由于杆或绳不可伸长，因此将杆或绳两端连接的物体的速度沿杆或绳方向和垂直于杆或绳方向分解后，沿杆或绳方向的速度分量相等，这是一个很重要的隐含条件，在求解连接体问题时是非常有用的.