在高中函数教学中渗透数学思想的方法

数学思想是对数学知识和方法本质的认识，数学方法是解决数学问题、体现数学思想的手段和工具。数学思想方法是数学基础知识的精髓，是形成学生良好认识结构的纽带，是由知识转化为能力的桥梁。日本数学教育家米山国藏在《数学的精神、思想与方法》中指出：“我搞了多年的数学教育，发现学生们在初中、高中接受数学知识，出校后不到一二年很快就忘掉了，然而不管从事什么业务工作，唯有深深铭刻于头脑的数学精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点，都随时的发生作用，使他们终身受益。”

数学教材中，不少题目隐含着常用的数学思想方法，这就是我们训练学生掌握解决问题的能力，摆脱“题海”战术，提高学生素质的有效的材料。现行高中数学课程的具体目标也指出：“获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，……体会其中所蕴涵的数学思想和方法以及它们在后续学习中的作用。”纵观整个高中教材，主要的数学思想方法有：抽象概括、化归、数学模型、优化思想、函数思想、数形结合、归纳猜想、分类、类比、特殊化、换元法、配方法、统计思想等。而高中函数教学中常见的数学思想方法有如下四种：一是数形结合思想，二是分类讨论思想，三是等价转化思想，四是数学建模。

一、引旧启新，反复让学生感性地认识分类的诱因

结合一次函数，反比例函数，二次函数的值域问题，借助图像，通过分类讨论一次项系数、反比例系数、二次项系数的符号，得出不同的值域范围，给学生以形象、直观的感性认识，引导学生通过观察图像得出函数的值域范围，并总结出要根据一次项系数、反比例系数、二次项系数的符号来分情况下结论。

结合分段函数的教学内容，进一步加深分类必要性的理解，明确分情况解题的合理性，感受分情况解题的原则——不重不漏。

二、引导学生，总结分类讨论的时机与原则

结合教材2.3函数单调性的教学，启发、引导学生自主地总结概括出分类讨论的时机与原则：

（1）创设问题情景，引旧启新：函数y=x2的图像在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？怎样用数学语言表示呢？同理，我们注意到y轴左侧部分是下降的，明显与前者不同，自然不能混为一谈，必须分开来说明；

（2）师生互动，提升概念：增函数与减函数，由图像提供的不同情况，我们清楚地知道函数图像的变化趋势可概括为这样两种情况，就必须针对这两种情况去讨论函数的单调性，从而得到概念。既不能“节外生枝”，也不能“丢三落四”，必须体现函数单调性的完整性与独立性，即分类时针对各种情况逐一讨论，不重不漏，这样有利于学生把定义与直观图像结合起来（数形结合与分类讨论），加深对概念的理解，学会有层次的，由整体到局部，再由局部到整体的逻辑思维能力，善于用运动变化的观点去观察分析事物。然后及时给出这种分析问题解决问题的数学思想方法就是分类讨论。

（3）独立填表，加深感性印象与理解。让学生通过教材60页习题2.3-2独立填表，再通过对函数y=■，（k≠0）与yy=kx，（k≠0）中的系数k分k>0与k

三、明确分类讨论的内涵及使用依据与原则

1. 分类讨论的内涵。分类思想是依据数学对象本质属性的相同点和不同点，将数学对象划分为不同种类分别进行研究或求解的一种数学思想。即针对问题的情况，首先选定一个标准，由始至终按照这个标准进行分类，然后“各个击破”，它能帮助我们在解题、分析问题、解决问题时做到思维缜密、严谨、不重复、不遗漏，使我们在遇到对事物整体研究有困难时，可转化成研究事物的各个局部。

2. 分类讨论的使用依据。（1）根据数学概念进行分类讨论，如求函数y=x2-1（0≤x≤1） x2（-1≤x≤0）的反函数。（2）根据函数性质进行分类讨论，如例：如果a■大于a■（其中a>0，a≠0），求x的取值范围。（3）根据图形的形状或位置进行分类讨论：我们在研究指数函数y=ax（a>0且a≠1）的图像和性质时，是先画出y=2x与y=（■）x的图像，然后由特殊到一般，得到a>1与00且a≠1）的图像，然后进一步观察得到指数函数y=ax（a>0且a≠1）的性质。在学习“对数函数的性质”时，同理亦可得到。

四、创设问题情景，引领学生自主提升

教师努力为学生创设问题情境，将学生置于分类讨论的数学问题情境之中，让学生不由自主地依据函数的性质进行分类讨论来解题。

举例说明：求函数f（x）=lg（ax-k2x），（a>0且a≠1，k∈R）的定义域。分析：要使函数f（x）有意义，则ax-k2x>0，得（■）x>k，这是一个指数不等式，我们知道指数函数的值域是（0，+∞），那么如果k非正，则此式恒成立；若k>0，则需对（■）x>k两边取对数，这时根据对数函数的性质，我们知道：当底数大于1时，对数函数为增函数；当底数小于1，大于0时，对数函数为减函数。这里指数的底含有参数，则需要对其讨论；特别的，当a=2时，k

渗透数学思想方法的教学，是个慢功夫，不能一蹴而就，还要注意反复强化训练。但在渗透教学的过程中师生均受益。首先，能够加深教师对教材内容的理解程度，提高教师对数学知识的驾驭能力；如果教师能够有效地将数学知识与数学思想方法进行有机结合，并能深入浅出的渗透给学生，那可谓该教师为自己与学生开掘了一眼“泉”，能够高屋建瓴。其次，学生一旦接受并领悟到数学思想方法的内涵与真谛，必将如虎添翼，能够深刻理解知识、灵活运用知识解决问题，并形成分析问题、解决问题的能力，更主要的是获得了终生受益的数学思维能力。

世界著名的数学家和数学教育家乔治·波利亚说过：“完善的思想方法就犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路。”