它山之石,可以攻玉

[摘要] 华罗庚先生曾说,数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休。尤其在几何教学中,应借助几何直观揭示几何要素之间的关系;在其它内容的学习中,也应借助几何直观揭示研究对象的性质和关系。本文通过几何直观对一道数学问题的解答进行改进来谈数形结合的思想。

[关键词] 教师专业化 几何直观 数形结合

作为一名数学教育工作者,除了日常的教书育人外,闲暇之际会经常阅读一些专业性的杂志,不断谋求专业知识的学习与发展,形成对数学教育深入、系统的理解,提高我们的专业化水平。在这个学习过程中,往往会有所触动,这些触动就像被抛进平静湖面的小石子,可以激起丝丝涟漪,不过大多数很快会消失于深邃的湖底。但是,也可以通过多角度地分析与解读,成为引领我们思考和认识数学教育规律的璀璨明珠。下面是笔者在阅读中遇到的一个数学问题解答以及由此所引发的思考和体会。

一、原题再现

二、类题联想

三、解法改进

四、收获感悟

华罗庚先生曾说,数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休.同时,高中数学课程标准特别强调要加强几何直观,重视图形、几何直观在数学学习中的作用,鼓励借助几何直观进行思考。尤其在几何教学中,应借助几何直观揭示几何要素之间的关系;在其它内容的学习中,也应借助几何直观揭示研究对象的性质和关系。数形结合正好符合这种理念。数学研究的对象是数量关系和空间形式,即“数”与“形”两个方面。“数”与“形”两者之间并非是孤立的,而是有着密切的联系。在一维空间,实数与数轴上的点建立了一一对应的关系;在二维空间实数对与坐标平面上的点,建立了一一对应的关系,进而可以使函数的解析式与函数图像,方程与曲线建立起一一对应的关系,使数量关系的研究可以转化为图形性质的研究,反之也可以使图形性质的研究可以转化为数量关系的研究,这种解决数学问题的过程中“数”与“形”相互转化的研究策略,即是数形结合的思想。数形结合解题方法的特点是具有直观性、灵活性、深刻性,并跨越各科的知识界限,有较强的综合性。在学习中加强这方面训练,对巩固和加深有关数学知识的理解,打好基础,提高能力是非常重要的。数形结合解题就是在解决与几何图形有关的问题时,将图形信息转化成代数的信息,利用数量的特征,将其转化为代数问题;在解决与数量有关的问题时,根据数量的结构特征,构造出相应的几何图形,化为几何问题。从而利用数形的辩证统一和各自的优势尽快得到解题途径,这对提高分析和解决问题的能力将有极大的帮助。

数形结合思想通过“以形助数,以数解形”使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它从形的直观和数的严谨两方面思考问题,拓展了解题思路,是数学规律性与灵活性的有机结合,它不仅仅是一种重要的解题思想方法,而且也是一种重要的思维方法,因此它在中学数学中占有重要的地位。

在使用的过程中,数形结合的基础是做图要基本准确,切忌随手作图;数形结合的关键是挖掘图形的几何属性,切忌只重数量关系而忽视位置关系。一般由“形”到“数”的转化,往往比较明显,而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识。因此,数形结合的思想的使用往往偏重于“数”到“形”的转化。比如某些代数问题、三角问题、向量问题往往都有几何背景,而借助其背景图形的性质,可使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观,以便于探求解题思路或找到问题的结论。

参考文献:

[1]陈宽宏.数学问题解答(第1832题)[J].数学通报,2010,(2).

[2]马五胜.中学生学习报,数学周刊.

[3]王尚志.数学教学研究与案例[M].北京:高等教育出版社,2006.

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