电子模拟反弹球

内容摘要:本文讨论了反弹球的力学系统,建立了相应的电子模拟实验,从中可观测到反弹球的多种动力学行为。

关键词:反弹球,电子模拟,相图,混沌。

中图分类号:O4-39 文献标识码: A

一、导言

非线性系统中存在分岔与混沌现象日益为人们所关注,成为理论与实验研究的热点。从线性系统到非线性电路,近代科学家进行了卓有成效的研究,然而,由于在非线性系统中动力学行为的复杂性,使得对它的观测较为困难,所以人们一直在寻求进行观测的有效方法。反弹球,是一个简单的动力学系统,能呈现显著的复杂行为。反弹球是一维变量,二参数的牛顿方程重力系统。

实验方面,我们根据电路中电量与力学量的相似性,设计了一个电子模拟反弹球动力实验电路,该电路在不同的电路参数下给出各种弹球运动的动力学行为。用三个运算放大器组成单元电路,通过整流器进行电流反馈,所有的信号都是电信号,数据的采集与分析变得很简单,不像以往的力学实验,解调系统是固定不变的。采用电子模拟可有效地解决上述问题。运用反弹球电子模拟系统,可从中观测到反弹球的多种动力学行为。从自由落体,弹性与非弹性碰撞以及从分岔到混沌等各种现象,给出了观测结果。允许学生在系统的空间参数的广阔范围里开发实验,用一个示波器或EWB软件,大学生就可进行研究。

二、反弹球

设桌面作简谐振动,在第N次碰撞之后,球的速度为VN,台面的相位为ΦN,经tN之后碰撞桌面,由于球与桌面处于同一高度,根据运叠加原理得:

XOTsinΦN +VNtN-gt2N/2=XOTsin(ωtN +ΦN) (1)

式中:g为重力常数,XOT和ω分别是台面的振幅与角速率。

紧接着在第N+1次碰撞之后的下一次轨迹,台面的相位为ΦN+1,新的出发速度由一对参数的循环关系决定:

ΦN+1=ΦN+ωtN(2)

VN+1=K(gtN- UN)+ XOTω(1+K)cos( ΦN+ωtN) (3)

方程(3)所定义的即时恢复系数k= (VN+1-VOT)/( VN-VOT)在划分方程(1)----(3)之后,揭示了系统的动力学,仅仅由标准台面的两个参数k和a=ω2XOT/g所决定,标准台面加速度,对于给定的参数(K和a)方程(2)和(3)被迭代,从初始值的选择直到一个极限周期被找到或者一个混沌状态被它的奇怪吸引子所显示。

1975年,Pippard注意到,对于一个固定的k值,a值有一个范围,给出稳定的轨迹,在台面的n次周期碰撞2N次周期或另外的分谐波,他导出了一个稳定范围的表示式:

an’

这里,an’=n (1-K)/(1+K)’

三、模拟的建立

电子模拟示于图一。三个运算放大器是FET线性差分放大器,开环增益约为2500,插图表示一理想的二极管整流电

路,应用了反馈二极管理想的特性,它保证反馈电流被线性单元所控制,无电压或电流失调补偿电路是需要的,除Cf外,所有的C=0.47uf除Rf外所有的R=10kΩ,Ri=1MΩ,可以选择电压为了球的位置在示波器上显示Vb,是台面的位置(-VT),或球的速度(-VC)

在本实验中,当二极管反偏时,电子模拟自由下落;当导通时碰撞,在与台面碰撞期间,球经受一个比它在下落期间所受的重力还要大的反向力,这个电路也模拟了一个第三状态。

a=(1-K)/(1+K)在这上状态期间,球必须来到和台面保持久的接触。

于是,对于负恒定电流i方程(7)的抛物线的解,描述了在恒定重力场g中,由时间所决定的自由落体的位置的模拟。该无反馈电路很早被用于模拟计算导弹学中火箭在靶上碰撞的时间和位置。

B. 碰撞

当“二极管”导通时,电容C上被Va正向充电,Vc反转,在很短时间里电荷变换到C2上,因而Vc和Va固定时反转,小球反弹,在反馈环中无耗散元件,碰撞和抛物线自由下落无限重复,因此恢复系数是1。一个电阻Rf与整流器串联限制反馈电流。同时,表示球和桌面之间的完全弹性碰撞,那里一个或一对是可变形的,接触时间间隔/ω0=(RfCR2C2)1/2

这里 ,ω0是电路的固有频率,反馈电路中阻抗可认为刚好是Rf

在Rf=0时,接触的持续时间消失,代替它的是整流器的正向动态电阻。在力学实验中,桌面的位置由于正好对反弹球供给能量而改变,类似于一个变化电压。VT(t)=VOTCOSωt在S2点加到输出电压Va(图一)对电路供给能量。即R2C2Va(t)=∫VC(t)dt同时改变方程(6),在接触期间的耗散,是由与电阻Rf并联的电容Cf来实现的。幅度仍然是完美的抛物线,但是在接触期间,半个正弦波波表示相位上移和衰减,好象恢复系数小于1一样。因此这个电路具有球在一个振动着的桌面上反弹的所以方面的模拟。也就是说,自由下落,耗散或弹性碰撞以及与活动台面的能量交换。在接触期间,当Va变为正时,整流器导通,电流i的相反方向被用来模拟向下的重力。

方程(6)和(7)变为

C×dVC/dt=- Va/ Rf- Cf ×dVa/dt-i (10)

R2C2Va(t)=∫VC(t’)dt’ - R2C2VT(t)(11)

这里,Vc仍然是模拟球的速度 Va(t)和dVa/dt 分别代表模拟球相对于桌面的位置和速度。代方程(1)入(10)给出了在有效接触期间的运动方程,这里是一个阻尼的线性振荡器:

dVC/dt+ VC/τ+ω02∫VC(t)dt= VT/(Rf×C)+ Cf / C×dVT/dt i/C (12)

式中τ= R2C2C/ Cf

方程右边的前两项(VT/(Rf×C)和Cf / C×dVT/d)代表接触力,分别模拟小球和桌面之间的弹性和粘性碰撞,当耗散出现时,接触的时间间隔变为

/ ω’= /ω0×(1-1/(2τω0)2)1/2

这里,张弛时间t由下式给出

τ= R2C2C/ Cf

其次,自由下落,球与桌面在周期的一半 /ω’保持接触,能量耗散,因此解调系数可定义如下:

K=-Vout/Vin=exp(- /2τω’)(15)

借助于电路元件和驱动频率的适当选择,接触将在一个短的时间间隔里发生( /ω’< /ω)

在此期间,整流器导通,这个完成的范围0

最后,解调系数是既定的,保留控制参数a这个由于振动台面和重力的产生的加速度之比率,可从以前的方程中简单地导出。

a= R2C×C 2 ×XOTω2 /i(16)

四、实验结果:

1.小球在固定桌面上弹跳的波形

电路参数如图示,模拟非弹性碰撞。VT处接入矩形脉冲,作桌面驱动信号,(其周期应与小球从弹跳到静止在桌面上的时间相比较)双踪示波器Y2轴接入Vb,Y1轴接入Vc,示波器置外触发,触发脉冲为VT,此时适当调节矩形脉冲幅度及宽度,在示波器Y1上可显示出表示小球位置变化的幅度逐次减小的抛物线群,在Y2上可显示出小球速度变化的逐次变短的倾斜线。

通过相邻二抛物线的高度h1及h2可估算出恢复系数K的值:

K=(h2/h1)1/2

若增大Cf的值(可并联一只电容),将增大系统耗散程度,K随之变化,可观察到抛物线群衰减加大。若使Cf=0(可将Cf断开),则抛物线群的幅度无衰减。

2.小球在振动桌面上弹跳的波形

电路VT处接入正弦电信号模拟桌面作简谐振动,同时将VT 接入双踪示波器Y1轴。调节该正弦信号的频率ωT ,使小球在桌面上作单周期,倍周期………振动。当ωT与小球自然振动频率ωO相近,且使幅度适中,则可得单周期的弹跳波形,如下图所示。增大信号频率ωT(或振幅VT)轨迹出现多个幅度与周期波形,继续增大ωT(或振幅VT),可见到倍周期弹跳的稳定波形。。继续增大ωT(或振幅VT)又进入不稳定区,再增大ωT(或振幅VT),使成四周期弹跳波形………..,直至极限周期与混沌状态。测量分叉开始时驱动电压VT的频率或幅度,可估算出费根勃姆普适常数。

3.相图的观测

将示波器Y轴接入Vb,X轴接入Vc,其余接法不变。适当调节VT的频率或振幅(相当于逐渐增大值)及示波器的X,Y轴增幅,可观测到对应上述单周期,倍周期…………状态下的系统相图(Vb―Vc的关系图)。再逐步增大VT的频率或幅度,可观察到混沌的相图。

为了观测庞卡莱截面,可将由VT信号驱动的脉冲信号接到示波器的Z轴,使图象在VT相位的3/2 +2n 时亮度增强,其余部分图象亮度减弱,可观测到庞卡莱截面即奇怪吸引子。

4.分叉图的观测

将驱动电压VT从正弦波发生器接于X轴,Y轴接入Vb,Z轴仍接如上述,慢速增大VT的幅度,可在慢扫描示波器上观测到分叉图。(球幅值Vb与a的关系图)。

五.结论

电子模拟反弹球,参数调节十分方便,允许学生在一个示波器或EWB软件上显示一个理想所有动力学行为。球和桌面碰撞后分离可以定量加以控制,物理系统由三个参数来描述,通过利用示波器Z 轴,一些重要的抽象的概念,如POINCARE部分,奇怪吸引子变得易于说明,在反馈电路中使用不同结构的二极管有可能模拟另外一些非线性系统。电子模拟反弹球绘出了非线性系统所有的易于理解的特征,桌面振动的幅度和频率,球的重力,位置和速度通过示波器显示屏所得到的结果和由牛顿方程分析得到的结论是很接近的。

参考书目:

[1]《大学物理》常树人等混沌浅说1999.1039―42

[2]《大学物理》(当代物理前沿专题部分) 蔡枢 吴铭磊 高等教育出版社 136―143