浅谈高数中一些重要概念之间的关系

【摘要】正确理解高数中的概念及其关系是学好高数的基础。本文主要介绍函数在某点有定义、极限、连续、可导与可微之间的关系。

【关键词】极限连续可导可微

数学概念是数学知识体系的核心部分，是数学推理论证的基础，也是学生学好高数的关键，所以正确理解高数相关概念之间的关系对学生学好高数有很大的帮助。本文主要介绍高数中一些容易混淆的概念之间的关系，即函数在某点有定义、极限、连续、可导与可微之间的关系，旨在帮助学生认清这些概念的本质。

1.函数在某点有定义与极限

极限定义：设函数f（x）在x0的某一去心邻域内有定义。若存在常数A，对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当x满足不等式0

根据极限定义，显然我们可以看出limxx0f（x）是函数f（x）在过程中趋向的值，0

例：limx1x2-11x-1，显然函数在x=1没有定义，但limx1x2-11x-1=limx1（x+1）=2极限存在。

2.极限与连续

函数连续定义：设函数y=f（x）在x0的某一邻域内有定义。若limxx0f（x）=f（x0），那么称函数f（x）在x0连续。

根据定义可归纳出连续的三个要素：

（1）函数f（x）在x0点有定义；

（2）当xx0时，limxx0f（x）存在；

（3）极限值等于该点函数值，即limxx0f（x）=f（x0）。

显然，函数连续一定有极限，但极限存在不一定连续。

例：y=x2-11x-1

函数在x=1没有定义，故函数在x=1不连续，但limx1x2-11x-1=limx1（x+1）=2极限存在。

3.连续与可导

设函数y=f（x）在点x处可导，即limΔx0Δy1Δx=f′（x）存在。由具有极限的函数与无穷小的关系知道，Δy1Δx=f′（x）+α，其中α为当Δx0时的无穷小。两边同时乘以Δx，得Δy=f′（x）Δx+αΔx。由此可见，当Δx0时，Δy0。即函数y=f（x）在点x处是连续的。所以函数y=f（x）在点x处可导，则在该点必连续。反之不一定成立。

例：函数y=f（x）=31x在区间（-∞，+∞）内连续，但在点x=0处不可导。

因为在x=0处有f（0+h）-f（0）1h=31h-01h=11h213，

因此limh0f（0+h）-f（0）1h=limh011h213=+∞，即导数为无穷大，导数不存在。

4.可导与可微

设函数y=f（x）在x0可微，按可微定义有Δy=AΔx+o（Δx），两边除以Δx，得Δy1Δx=A+o（Δx）1Δx，故当Δx0时，A=limΔx0Δy1Δx=f′（x0）。因此y=f（x）在x0可微，则f（x）在x0一定可导。

反之，若y=f（x）在x0可导，即limΔx0Δy1Δx=f′（x0）存在，根据无穷大与无穷小的关系，即有Δy1Δx=f′（x0）+α，其中α0。因此Δy=f′（x0）Δx+αΔx，αΔx=o（Δx），且f′（x0）不依赖于Δx，故f（x）在x0可微。

综上，函数在x0点有定义、极限、连续、可导、可微之间的关系可如下图所示：

即（1）f（x）在x0点有无定义与f（x）在x0点有无极限无关；

（2）f（x）在x0点有定义与limxx0f（x）存在，都是f（x）在x0点连续的必要条件；

（3）f（x）在x0点连续是f（x）在x0点可导的必要条件；f（x）在x0点可导是f（x）在x0点连续的充分条件；

（4）f（x）在x0点可导是f（x）在x0点可微的充分必要条件。