简易逻辑易错点剖析

可以数是属统治着整个量的世界，而算数的四则运算则可以看作是数学家的全部装备。―麦克斯韦

这是一个可靠的规律，当数学或哲学著作的作者以模糊深奥的话写作时，他是在胡说八道。―A.N.怀德海

近几年高考中简易逻辑试题是以考查基本概念为主，并以客观题形式出现,难度低,重基础.复习中只要夯实基础,把握逻辑联结词的含义、充要条件的意义、四种命题及相互关系就能达到考试要求.但仍有部分同学出现错误,究其原因仍然是对概念的掌握不牢固、理解不深刻.

一、 命题的否定与否命题

【例1】 命题“若a>b,则2a>2b－1”的否命题为.

错解1 若a

剖析 “大于”的否定是“不大于”，即“小于或等于”.对于常见词语的否定应该正确辨析和记忆.如:

关键词等于大于小于是能都是没有至多有

一个至少有

一个至少有

n个至多有

n个任意的任两个

否定词不等于不大于不小于不是不能不都是至少有

一个至少有

两个一个都

没有至多有

n－1个至少有

n＋1个某个某两个

错解2 若a>b,则2a≤2b－1

剖析 概念不清,否命题与命题的否定混淆.命题的否定即“

p”，只否定p的结论，而不否定条件.而否命题是既否定条件又否定结论，欲写“

p”应先搞清p的条件与结论．

正解 若a≤b,则2a≤2b－1

【例2】 p:有些质数是奇数．写出“

p”．

错解 有些质数不是奇数．

剖析 因为p是真命题，所以“

p”应为假命题，上述命题不假，故答案错．错误的原因是对p的条件与结论没有搞清楚．这个命题的条件是“质数”，结论是“有些是奇数”，正确的解法:先将p写成等价形式“质数有些是奇数.” 不是用“不”否定“是”，而是用“无”否定“有些是”.

正解

p:质数无奇数．

二、 逻辑联结词

【例3】 已知p:方程(x－1)(x－2)=0的根是x=1；q:方程(x－1)(x－2)=0的根是x=2，写出“p或q”．

错解 p或q:方程(x－1)(x－2)=0的根是x=1或x=2.

剖析 本题中的p、q都是假命题，所以“p或q”应是假命题，而上述解答中写出的命题却是真命题．错误的原因是: 复合命题“p或q”与“p且q”是用逻辑联结“或”与“且”联结两个命题p与q.既不能用“或”与“且”去联结两个命题的条件，也不能用它们去联结两个命题的结论．本题中用“或”联结了两命题的结论．

正解 p或q:方程(x－1)(x－2)=0的根是x=1或方程(x－1)(x－2)=0的根是x=2.

三、 充要条件的判断

【例4】 “a=－1”是“直线a2x－y+6=0与直线4x－(a－3)y+9=0互相垂直”的条件.

错解 必要不充分或充要

剖析 1. 对于两个条件A,B,如果AB成立,则A是B的充分条件,B是A的必要条件；如果AB,则A,B互为充分必要条件.解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性.所以在解决这类问题时应从两方面考虑:一是必须明确哪个是条件,哪个是结论；二是再看是由条件推出结论,还是由结论推出条件,应用充分不必要、必要不充分、充要条件的定义加以判断.

2. 判断不全面,没有从充分性与必要性两个方面对命题进行全面的判断,就贸然下结论.

正解 充分不必要

【例5】 设命题p:关于x的不等式a1x2+b1x+c1>0与a2 x2 +b2 x+c2 >0的解集相同,命题q:a1a2=b1b2=c1c2则q是p的 条件.

错解 充分不必要

剖析 没有注意到a1a2=b1b2=c1c2

正解 既不充分也不必要条件

【例6】 命题甲:x≠2或y≠3；命题乙:x+y≠5,则甲是乙的条件.

错解 既不充分也不必要

剖析 对于否定形式的命题，无法理清之间的逻辑关系，导致误判.这两个命题都是否定性的命题,正面入手较为困难. 考虑到原命题与逆否命题的等价性,可以转化为判断其逆否命题是否正确. 即“x≠2或y≠3”“x+y≠5”,其逆否命题为:“x+y=5”“x=2且y=3”显然不正确. 同理,可判断命题“x=2且y=3”“x+y=5”为真命题.

正解 必要非充分条件

点评 本题虽然看上去是一个基本的不等量关系,但实质逻辑性很强,容易答错,解本题的关键:一是从反面入手,利用原命题与逆否命题的等价性,二是要对逻辑联结词“或”“且”深刻理解与领悟,认识命题的四种形式及其相互关系；原命题与逆否命题同真假；逆命题与否命题同真假,利用这种关系可压缩思维长度,简化寻求解题的思路.

【例7】 已知p:3x2－8x+4>0,q:x+1x－2>0则

p是

q的什么条件？

思路1 先计算

p、

q,然后再作判断.

解法1 由p:3x2－8x+4>0,得

p:3x2－8x+4≤0,即

p:23≤x≤2；

由q:x+1x－2>0得

q:x+1x－2≤0,即

q:－1≤x

因此:

p是

q的既不充分也不必要条件.

思路2 先将条件p与q化简,然后再作判断.

解法2 由p:3x2－8x+4>0,得p:x2,即

p:23≤x≤2，

由q:x+1x－2>0，得q:x2，即

q:－1≤x≤2，

因为［23,2］［－1,2］，所以

p是

q的充分不必要条件.

剖析 上述两种解法,为什么会得出不同的结论？

解法2对命题p、q的化简变形,步步等价,结论是正确的. 解法1是用“大于(>)”的否定是“不大于(≤)”这个结论来解题的,其结果不正确.其中“由q:x+1x－2>0得

q:x+1x－2≤0”是错误的,因为q:x+1x－2>0的否定应是x=2,或x+1x－2≤0.由此可见,简单地认为“>”的否定为“≤”是错误的.

点评 对于充分必要条件可从集合角度加以理解,即:若AB,则A是B的充分条件；若BA,则A是B的必要条件；若A=B,则A是B的充要条件.

四、 含有存在量词与全称量词命题的否定

【例8】 命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是.

错解 所有能被2整除的整数都不是偶数

剖析 含有存在量词与全称量词命题的否定是一种具有固定形式的命题改写,全称命题的否定是存在命题,存在命题的否定是全称命题.即:

全称命题“p:x∈D,P(x)”的否定为存在命题“

p:x∈D,

P(x)”

存在命题“p:x∈D,P(x)”的否定为全称命题“

p:x∈D,

P(x)”

从真假性看,它们的真假性相反.因此,本题应该:把“所有”改为“存在”,同时否定结论:

正解 存在一个能被2整除的数都不是偶数.

牛刀小试

1. 命题：“若x2

2. 命题P：四条边相等的四边形是正方形.写出“非P”及否命题.

3. 已知p:方程(x－1)(x－2)=0的根是x=1；q:方程(x－1)(x－2)=0的根是x=2，写出“p且q”．

4. 设集合M={1,2},N={a2}则 “a=1”是“NM”的条件.

5. 对于函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的条件.

6. 设x,y∈R则“x

7. 已知条件p:|x－1|≤2，条件q:x－4x－3>0，则

p是

q的条件.

8. 下列四个命题：

①n∈R,n2≥n；

②n∈R,n2

③n∈R,m∈R,m2

④n∈R,m∈R,m•n=m

其中真命题的序号是.

【参考答案】

1. 若x>1，或x1

2. 非P： 四条边相等的四边形不都是正方形；

否命题：四条边不相等的四边形不都是正方形.

3. p且q:方程(x－1)(x－2)=0的根是x=1且方程(x－1)(x－2)=0的根是x=2.

4. 充分不必要条件

5. 必要而不充分条件

6. 必要而不充分条件

7. 既非充分也非必要条件

8. ④