基于切比雪夫逼近准则设计的FIR滤波器的带限信道仿真

摘要：本文对切比雪夫逼近准则的特性进行了分析，并采用切比雪夫逼近准则设计FIR滤波器来仿真带限通信信道.最后利用Matlab进行了仿真，仿真表明设计结果的各项性能指标均达到指定要求，设计过程简便易行。

关键词：切比雪夫逼近准则 remez算法 带限信道

中图分类号：TN713 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2012）11-0205-02

实际生活中我们遇到的许多通信信道，比如电话信道、微波信道等等，它们都属于带限通信信道。FIR数字滤波器（FIR　DF）由于其特有的稳定性和线性相位特性，使其在工程设计中广为应用。因此本文介绍了一种基于切比雪夫逼近准则设计的FIR滤波器的带限信道仿真。

1、带限信道特性

我们可用带限线性滤波器的频率响应特性H（ejw）表示带限通信信道的特性如下[1]：

在上式中，是相位响应，H（w）是幅度响应。对于带限信道的相位特性，可采用包络延时法或者群延时法代替时定义如下：

要实现信道无失真或达到理想状态，则包络延时必须为常数，且传输信号所占用的频带范围内H（ω）也须为常数。倘若幅度相应和包络延时都不为常数，那么信号在信道内传输过程中就会产生失真。

2、切比雪夫逼近准则

对于滤波器的设计，切比雪夫逼近准则是FTR滤波器常用设计方法之一。对于通带和阻带，我们可以根据切比雪夫逼近准则采用不相同的加权函数，对不同频段（一般是阻带与通带），实现最大值相同的加权误差。因此，可以实现最大误差值在满足FIR各项性能指标的前提下趋于最小值。

2.1　切比雪夫逼近误差

根据单位抽样响应h（n）的奇偶对称性，以及h（n）的长度的奇偶性，可将线性相位FIR　DF分成四类。此外，可以采用下面的统一形式来表示FIR　DF的频率响应：

（1）

上式中：，是幅度函数，它可取正值也可取负值。根据三角公式与交错定理能得到下面等式：

（2）

因此，我们可定义加权切比雪夫误差公式如下：

（3）

在上式中：代表加权误差，代表逼近的加权函数误差，代表理想的幅度函数，代表滤波器的幅度函数。我们将上面式（2）代到式（3）中可得到下式：

通过推导，可得如下等式：

（4）

从而可得到最终的加权切比雪夫逼近误差函数公式　（4）。实际上，FIR　DF的加权切比雪夫逼近问题也即是求解。

2.2　Remez算法

Parks-McClellan等人在70年代推导出了Remez算法。Remez算法的具体求解过程如下：

（1）[2]的求解。首先，可在阻带和通带滤波器内等间隔地取r+1个频率点（k=0，1…r），将这些频率点作为交错点的开始值。接着，可利用交错定理表达式及的表达式具体解出满足下面等式中的值：

k=0，1，L，r

（2）的求解。首先，根据①得到的值和事先设定的r+1个频率点，求解出（其中i=0，1r-1）的值，然后，根据拉格朗日（Lagrange）插值公式，可以得到表达式。

（3）的求解。根据②得到的，将其代入到下面不等式中判定其是否满足的要求。如果满足要求，那么此时的值也就是最终求得的最佳值。于是这样就可获得最佳的切比雪夫逼近。

3、带限信道的FIR滤波器仿真

利用FIR滤波器的频率响应特性来表征信道的频率响应特性，可实现带限通信信道的FIR滤波器仿真。当带限通信信道的频率响应特性与线性滤波器的频率响应特性相同时，就可用线性滤波器来模拟该带限通信信道。利用FIR滤波器来仿真带限信道，关键在于FIR滤波器可以根据实际需要设计成具有严格的线性相位和任意的幅度特性。

3.1　FIR滤波器仿真

通过Matlab中的remez函数，可实现FIR滤波器的设计和仿真，程序中用到的主要参量为：fcutoff=2000Hz，fstopband=2500Hz，Fs=10000Hz，，N=41.基于切比雪夫逼近准则设计的FIR　滤波器的仿真结果如图1所示：

显然，设计的滤波器满足设计指标要求。利用切比雪夫逼近准则并借助Matlab可随意设计满足要求的FIR滤波器的带限信道，并绘制出幅频和相频特性曲线，使得FIR滤波器的带限信道设计变得简单快捷和方便。

参考文献

[1]王立宁.Matlab与通信仿真[M].北京：人民邮电出版社，2000.

[2]丁美玉，高西全.数字信号处理[M].西安：西安电子科技大学出版社，2001.