分类思想在教学中的渗透与运用

摘 要 一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类；其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题。

关键词 分类 渗透 思维 讨论

推行素质教育，培养面向新世纪的合格人才，使学生具有创新意识，在创造中学会学习，教育应更多的的关注学生的学习方法和策略。数学家乔治.波利亚所说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路”，随着课程改革的深入，在应试教育“向”素质教育“转变的过程中，对学生的考察，不仅考查基础知识，基本技能，更为重视考查能力的培养。如基本知识概念、法则、性质、公式、公理、定理的学习和探索过程中所反映出来的数学思想和方法；要求学生会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会阐述自己的思想和观点。从而提高学生的数学素养，对学生进行思想观念层次上的数学教育。

数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。具体做法如下：

一、渗透分类思想，养成分类意识

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。

进行完负数、有理数的概念教学后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到对不同的标准，有理数有不同的分类方法，如分为：正有理数和负有理数。这就为下一步分类讨论奠定了基础。

认识数a可表示任意数后，让学生对数a 进行分类，得出正数、零、负数三类。

讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类：通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。

又如，两个有理数比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。

二、学习分类方法，增强思维缜密

（一）根据概念分类

有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。

（二）根据法则分类

学习一元二次方程 根的判别式时，对于变形后的方程用两边开平方求解，需要分类研究大于0，等于0，小于0这三种情况对应方程解的情况。而此题的符号决定能否开平方，是分类的依据。从而得到一元二次方程 的根的三种情况。

（三）根据图形分类

如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，根据直线和圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。

三、引导分类讨论，提高解题能力

初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教学这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误，出现误解。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括、总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。

一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题。例如，已知函救y＝（m-1）x2＋（m-2）x－1（m是实数）。如果函数的图象和x轴只有一个交点，求m的值。

分析：这里从函数分类的角度讨论，分 m－1=0 和 m－110 两种情况来研究解决问题。

解：当m＝l 时函数就是一个一次函数y＝－x－1，它与x轴只有一个交点（-1，0）。

当 m=1时，函数就是一个二次函数y＝（m－1）x2＋（m－2）x－1

当＝（m－2）2+4（m－1）=0，得 m=0.

抛物线y=－x2－2x－1，的顶点（－1，0）在x轴上

又如， 函数y=x6-x5+x4-x3+x2-x+1，求证：y的值恒为正数。

分析：将y的表达式分解因式，虽可证得结论但较难。分析可发现，若将变量x在实数范围内适当分类，则问题容易解决。

证明：⑴ 当x ≤0时

x5 - x3 - x ≥0 ， y≥1恒成立；

⑵ 当0 < x

y = x6 + （ x4 - x5 ） + （ x2 -x3 ） + （ x - 1）

x4 > x5 ， x2 > x3 ， 1> x

y > 0 成立；

⑶ 当x = 1 时， y = 1 > 0 成立；

⑷ 当x >1时

y = （ x6 - x5 ） + （ x4 - x3 ） + （ x2 - x ） + 1

x6 > x5 ， x4 > x3 ， x2 > x

y > 1成立

综上可知，y > 0 成立。

由此而观之，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。另一方面在讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣。

利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。

参考文献：

[1]《全日制义务教育课程标准（实验稿）》.北京师范大学出版社.

[2] 任勇.《初中生学习法与能力培养》