关于运动的合成和分解

在高三物理总复习教学过程中，在复习运动的合成和分解时，总感觉到学生对这部分知识的理解和掌握特别有困难，往往遇到具体问题时，不知如何下手，特别是到了复习几何光学时，遇到这类问题，更不知怎样确定分运动和合运动。因此，下面再举几例进一步分析分运动和合运动的确定方法。

1. 知识要点

1.1 由已知的分运动求其合运动叫运动的合成；由已知合运动求其分运动叫运动的分解。由此可见，它们是互为逆运算。

1.2 整体的合运动是由各分运动共同决定的，合运动可替代所有的分运动（等效性），合运动和分运动进行的时间是相同的（等时性）。

1.3 运动的合成既可能是一个实际问题，即确有一个物体同时参与几个分运动而存在合运动；又可能是一种思维方法，即可以把一个较为复杂的实际运动看成是几个基本的运动合成的，通过对简单分运动的处理，来得到对复杂运动所需的结果。

1.4 描述运动的主要物理量如位移、速度、加速度都是矢量，所以运动的合成和分解都遵循矢量合成法则，即平行四边形法则。

1.5 进行运动合成时，必须把所有的分运动转换成同一个物体进行，即只有同一个物体进行的分运动才可合成。

1.6 进行运动的分解时，不能随意分解，必须按实际效果分解；另外，正交分解也是处理此类问题的常用方法。

2. 实例分析

【例一】如图1—1所示，用绳牵引小船靠岸，若收绳的速度为v1，在绳子与水平方向夹角为α的时刻，船的速度v有多大？

【解析】船的速度v产生两个效果：一是使绳系着小船的一端沿绳的方向以速度v1运动；二是使绳的这端绕滑轮做顺时针方向的转动。那么，合速度v应沿着绳子的牵引方向和垂直于绳子的方向分解，如图1—2所示，由图可得：

学生常见错误：1、认为v1 = v；2、知道船沿着绳的方向的速度为v1，但把v1沿v的方向和垂直v的方向进行正交分解，如图1—3所示，从而得到：

【例二】如图2—1所示，高为h光滑平台上。有一质量为m的物体，用细绳跨过滑轮被速度我为v沿水平面匀速右行的车拉动，当车从平台边缘右行距离S时，车对物体做功（绳子和滑轮间的摩擦不计）为 。

【解析】因为车沿地面匀速运动，物体在平台上是做非匀速运动，那么，它的速度是多少呢？由图可知，物体是由细绳通过汽车牵引着，所以它的速度v1应为绳延伸方向的速度，这个速度并非车的速度v，而是车速的一个分速度，按照运动的合成和分解，v1应为v在沿细绳延伸方向上的分量，即v1 = vsinα（α为细绳与竖直方向的夹角），如图2—2所示，所以车对物体做的功为：

W=12mv12=12mv2sin2α=12mv2（Ss2+h2）2=mv2s22（S2+h2）

学生常见错误：1、由于车沿地面匀速运动，所以物体在平台上也做匀速运动，故车对物体做功为0；2、由于车沿地面匀速运动的速度为v，所以物体在平台上运动的速度也是v，因此，车对物体做功为 W=12mv2。

【例三】如图3—1所示，用一条质量不计的细绳，一端拴一个质量为m圆环，一端拴一个质量为M的砝码，将圆环套在一根光滑的竖直杆上，滑轮与竖直杆相距0.3m，使环从静止开始释放，圆环向下滑的最大距离是0.4m，不计摩擦，求：（1）M∶m = ？（2）圆环下滑0.3m时，其速度的大小？

【解析】M、m和地球组成的系统机械能守恒，则系统减少的总重力势能Ep重力势能等于系统增加的总动能Ek，如图3—2所示。

（1）当圆环下滑到最大距离d时，两者速度均为0，动能增量为0。

学生常见错误：1、认为vm和vM是相等的，即vm = vM ；2、把vM进行正交分解而得到vm = vMsin45°= vM

【例四】半径是为R的半圆形圆柱面PCQ，如图4—1所示，A、B两球用轻质长绳连接，并悬吊在圆柱面P端两侧，A球质量为B球质量的2倍。现将A球从圆柱面P端处由静止开始释放，若不计一切摩擦，求A 球沿圆柱面滑到最低点C时速度的大小。

【解析】在A球下滑的过程中，A球沿切线方向的速度产生两个效果，一个拉伸绳索，一个使绳以P点为圆心偏转，设A球到达最低点C时的速度为v1，B球的速度为v2为，如图4—2所示。由图可得：

解①②③方程可得：

学生常见错误：1、认为A球的速度和B球的速度相等，即v1 = v2 ；2、不明确v1所产生的两个效果的方向，从而导致分解错误，3、势能的变化计算错误。

【例五】一探照灯射在云层底面上，在底面是与地面平行的平面，如图5—1所示，云层底面高h，探照灯以角速度ω在竖直平面内转动，当光束转过与竖直线夹角为θ时，此刻云层底面上光点的移动速度等于 。

【解析】设探照灯的光束转过θ角时，光线照射到云层底面的A点，光点的移动速度为v，线速度为v1，如图5—2所示。由图可得：

学生常见错误：1、把光点的速度当作v1，得到v= ωhcos θ 或v= ωh ；2、算出光点发生的位移和时间，由公式v= st得到光点的速度 v=ωhtanθθ（θ以弧度为单位）。

综上分析，要正确解决这类问题，首先，必须明确研究对象在运动的过程中，有几个分运动同时参与或所产生的实际效果的方向；其次，要分清哪个是分运动哪个是合运动；最后应用运动的合成和分解画好图形——即平行四边形，结合三角形知识求解。