关于运动分解的几个实例分析

在学习必修二第五章曲线运动时常常会遇到关于绳末端速度分解的类型题，有的老师也把这类问题叫做关联运动，关键问题就是在绳拉动下物体运动的分解，通过沿绳方向速度大小相等找出绳子连接的两个物体的速度关系.那么关于物体运动的分解都应该遵循怎样的规律呢.笔者在这里总结一二.

1 基本类型分析

例1 如图1所示，做匀速直线运动的小车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和小车速度的大小分别为vB、vA，则

A.vA>vB

B.vA

C.绳的拉力等于B的重力

D.绳的拉力大于B的重力

解析 小车A向左运动的过程中，小车的速度是合速度，可分解为沿绳方向与垂直于绳方向的速度，关联速度起源于不可伸长的绳或杆上，尽管两端点的速度不同，但两端点速度沿绳或杆方向的分速度一定相同.如图2所示，由图可知vB=vAcosθ，则vB

在学习中，学生会有一些困惑，第一，为什么分解的是小车的速度而不是绳的速度，也常常在作题时不清楚究竟分解谁；第二，根据平行四边行定则，已知一个合运动求它的两个分量是有无数种情况的，为什么一定是沿绳和垂直于绳呢？如果说是按效果分解，那么这两个效果又是什么呢？

首先我们要先清楚什么是物体的合运动和分运动，物体同时参与了两个实际独立存在的运动，这两个分运动所造成的物体的运动效果就是物体的合运动.通常以地面为参考系，那么最后的合运动就是物体相对地面的运动.在例1中A车相对地面的运动是水平向左的，所以，它水平向左的速度vA就是它的合运动，可以被分解.

其次，运动的效果是有很多种不同情况，如果说成按照解决问题的需要来分解可能更确切些，比如说例1中A车是通过绳与B车连接，由于在不可伸长的绳方向速度相等，B的速度是沿绳的，所以对于A车的运动分解为两个分运动，其中一个方向就是沿绳方向，A车也就是绳末端还参与了哪个运动呢？我们发现滑轮左侧的绳除了沿绳方向在伸长之外还在顺时针转动，绳末端转动速度应与绳（半径方向）垂直.那么两个分速度的方向便确定了――沿绳方向与垂直绳方向.与绳末端相连的物体，如果其运动不沿绳的话，往往就要把它的合运动向这两个方向分解.

解决该类问题的关键就是要冷静的找出物体相对地面的运动是什么，也就是合运动，再确定两个分运动的方向，通过沿绳方向运动来关联，就可以找出两端物体运动关系了.

辨析1 如图3所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地上通过铰链联结形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处，在杆的中点C处拴一细绳，绕过两个滑轮后挂上重物M.C点与O点距离为l.现在杆的另一端用力.使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓缓转至水平位置（转过了90°角），此过程中下述说法中正确的是

A.重物M做匀速直线运动

B.重物M做匀变速直线运动

C.重物M的最大速度是ω1

D.重物M的速度先减小后增大

解析 由题知，去除其它装置，C点的对地运动是圆轨迹，所以它的速度大小为vC=ωl，设vC与绳之间的夹角为θ，因为M的运动是沿绳的，所以把vC沿绳和垂直绳方向分解可得，v绳=vCcosθ，在转动过程中θ先减小到零再反向增大，故v绳先增大后减小，重物M做变加速运动，其最大速度为ωl，C正确.

辨析2 A、B两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体A以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图4所示.物体B的运动速度vB为（绳始终有拉力）

A.v1sinα/sinβ

B.v1cosα/sinβ

C.v1sinα/cosβ

D.v1cosα/cosβ

解析 物体B的运动速度为vB，此速度为物体B合运动的速度，根据它的实际运动效果两分运动分别为：沿绳收缩方向的分运动，设其速度为v绳B ；垂直绳方向的圆周运动，速度分解如图5甲所示.

则有 vB=v绳B cosβ （1）

物体A的合运动对应的速度为v1，它也产生两个分运动效果，分别是：沿绳伸长方向的分运动，设其速度为v绳A ；垂直绳方向的圆周运动，它的速度分解如图5乙所示.

则有 v绳A =v1cosα （2）

由于对应同一根绳，故

v绳B =v绳A （3）

根据（1）、（2）、（3）式解得：

vB=v1cosα/cosβ

选项D正确.

辨析3 如图6，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行.当绳与河岸的夹角为α，船的速率为

A.vsinα B.

vsinα C.vcosα D.vcosα

解析 题中已知，船的运动方向是沿绳的，所以不用分解，人的那端点沿河岸向右，很显然不沿绳，所以将人的运动分解为沿绳方向的分运动v1和与绳垂直方向的分运动v2，如图7所示.船的速率等于沿绳方向的分速度v1=vcosα，C正确.

2 是不是所有用绳相连的物体运动分解都是沿绳和垂直于绳

我们来看下面这道例题：

例2 图8所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成30°角的斜面向右以速度v匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，下列说法正确的是

A.橡皮的速度大小为2v

B.橡皮的速度大小为3v

C.橡皮的速度与水平方向成60°角

D.橡皮的速度与水平方向成45°角

解法一 两个分运动是独立存在的，不相互影响.从沿绳方向上看，绳子在缩短，且缩短的速度等于钉子沿斜面运动的速度（绳子长度不变）；如果绳子不缩短，物体的运动是沿斜面斜向上运动.也就是钉子沿斜面匀速运动时，橡皮具有向上的分速度v，同时具有沿斜面方向的分速度v，根据运动的合成可知，橡皮的速度大小为3v，速度与水平方向成60°角，选项B、C正确.

解法二 对物体的运动做水平竖直方向的正交分解，那么水平方向的速度vx=vcos30°

竖直方向：vy=v+vsin30°

v合=v2x+v2y

设v合与x轴方向夹角为θ，则有vy/vx=tanθ

可以解出v合=3v tanθ=3， 即θ=60°

3 在其它很多情况下我们都会用到运动的合成分解，关键在于抓住对地运动也就是合运动是什么运动，才能确定各运动之间的关系.

例3 宽9 m的成型玻璃以2 m/s的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚割刀的速度为

10 m/s， 为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，则：

（1）金刚割刀的轨道应如何控制？

（2）切割一次的时间多长？

（3）所生产的玻璃板的规格是怎样的？

解析 题目中提到“金刚割刀的速度为10 m/s”通常情况下默认的参考系为地面，所以10 m/s就是割刀的合运动的速度.要保证割出的玻璃都为矩形，那么在沿玻璃板前进方向的分运动的速度与玻璃板的速度应该相等，这样在玻璃板上的割痕才能垂直玻璃，即割出的玻璃板都成规定尺寸的矩形.

（1）设割刀的速度v的方向与玻璃板速度v1的方向之间的夹角为θ，如图9所示，要保证割下的是矩形的玻璃板，则由v是合速度得v1=vcosθ，

所以cosθ=v1v=15，

即θ=arccos15，

所以，要割下矩形玻璃板，割刀速度方向与玻璃板速度方向夹角θ=arccos15.

（2）切割一次的时间：

t=dvsinθ=910×1-125s=0.92 s.

（3）切割出的矩形玻璃板的规格为：

长度：d=9 m，

宽度：l=v1t=2×0.92 m=1.84 m.

关于合运动的判断，需要确定研究对象的以地面为参考系的运动.例如，高H处一激光发射器发射激光，同时以角速度ω转动，如图10当激光束与地面成θ时，光点沿地面的速度是光点的合运动，分运动为沿光线和垂直光线.则有

vsinθ=ωH/sinθ

辨析4 如图11所示，长为L的直棒一端可绕固定轴O转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为

A.vsinαL B.vLsinα

C.vcosαL D.vLcosα

解析 棒与平台接触点的实际运动即合运动，棒端点的运动轨迹为圆轨迹所以速度方向是垂直于棒指向左上，大小为ωL.它的两个分运动一个是随平台以速度v向上匀速上升，另一个则是沿平台向左运动，所以合速度沿竖直向上方向上的速度分量等于v，即ωLsinα=v，所以ω=v/Lsinα.

本题答案为B.

4 运动的合成分解不仅仅包括速度的合成分解，运动的其它参量，比如加速度、位移都可以根据平行四边形的规律进行分解或合成的.

例4 如图12所示，将一倾角为 θ=37°板状斜面体竖直固定在水平地面上，另一 “Π”型物体B紧靠在斜面体上，且能在水平面上自由滑动而不会倾斜，一根光滑细圆柱体A放在B的竖直面和斜面之间.现用水平外力推动B使其以加速度a=4 m/s2水平向右做匀加速直线运动，同时B推动A沿斜面向斜向上运动.不计所有摩擦，g=10 m/s2. （sin37°=0.6，cos37°=0.8），试求圆柱体A的加速度；

解析 由于斜面体固定不动，故A的合加速度方向沿斜面向上，其水平向右的分加速度和B的加速度相同，由图13中几何关系可得

a=aAcosθ

aA=5 m/s2

总的来说，解决问题的关键要抓住问题的本质，运动的合成分解，要认清两点，一是谁是研究对象，也是同学们在解题过程中易混淆的地方，所以要值得注意.二是研究对象的合运动是谁，同学们在解决相关问题时往往受到其各个分运动的影响，这时要仔细观察，排除干扰素，找出研究对象以地面为参考系的运动就是合运动.既然是运动的合成分解，就不能停留在速度的合成与分解，它的另外两个参量加速度、位移也可以按照平行四边形定则进行合成与分解.