浅谈物体由顶点经不同路径下滑到底端所用时间的比较问题

一、等时圆模型

例1 如图1所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点.每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放（初速为0），用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则（ ）

（A） t1t3

（C） t3>t1>t2 （D） t1=t2=t3

解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图2所示，设圆半径为R，由牛顿第二定律得，

mgcosθ=ma

①

再由几何关系，细杆长度L=2Rcosθ ②

设下滑时间为t，则L=12at2 ③

由以上三式得，t=2Rg可见下滑时间与细杆倾角无关，所以（D）正确.由此题我们可以得出一个结论.

结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等.

推论：若将图1倒置成图3的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等.

即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关.象这样的竖直圆我们简称为“等时圆”.

应用1：在设计三角形的屋顶时，为了使雨水能尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动.试分析和解：在屋顶宽度（2L）一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多少？

解析：如图4所示，通过屋顶作垂线AC与水平线BD相垂直； 并以L为半径、O为圆心画一个圆与AC、BC相切.然后，画倾角不同的屋顶A1B、

A2B、A3B….

从图4可以看出：在不同倾角的屋顶中，只有A2B是圆的弦，而其余均为圆的割线.根据“等时圆”规律，雨水沿A2B运动的时间最短，且最短时间为

tmin=

2dg

=2×2Lg

=2Lg.

而屋顶的倾角则为

tanα=LL=1α=45°.

在物理教学中，借助各种模型，把抽象问题具体化，把复杂问题简单化，能使得物理问题便于理解和接受.

过渡题：如图5所示，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为30°、45°、60°.若有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则 （ ）

（A） a处小孩最先到O点

（B） b处小孩最先到O点

（C） c处小孩最先到O点

（D） a、c处小孩同时到O点

做过了等时圆问题后再做这题，此时就有很多学生不假思索选D

其实这是“形似质异”的问题.

解析：三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑，但a、b、c三点不可能在同一竖直圆周上，所以下滑时间不一定相等.设圆柱底面半径为R，则

Rcosθ=

12

gsinθt2，t2=4Rgsin2θ，

当θ=45°时，t最小，当θ=30°和60°时，sin2θ的值相等.

二、等底边的光滑斜面45°时间最短问题

例2 如图6所示，几个倾角不同的光滑斜面具有共同的底边AB，当物体由静止沿不同的倾角从顶端滑到底端，下面哪些说法是正确？（ ）

（A） 倾角为30°时所需时间最短

（B） 倾角为45°所需时间最短

（C） 倾角为60°所需时间最短

（D） 所需时间均相等

解析：本题和上题一样的解法，可假设底边AB为 x，

t2=4xgsin2θ.

正确答案是（B）.

应用2：如图7所示，一小滑块沿光滑斜面AO、OB组成的凹谷自A点由静止开始滑下，最后抵达B点.设A、B两点距离固定不变，左右两个斜面对称，滑块在O处碰撞无能量损失.若斜面倾角为θ时，小球从A到B一次所需时间是t，则有（ ）

（A） 越大时，t越小

（B） 越小时，t越小

（C） 越小时，t越大

（D） 为某一定值时，t最小

此题我们在高三第一轮复习时的测试中还有不少学生花了很多时间做却没做到.小滑块从A到O做初速度为零的匀加速直线运动，而从O到B是以匀加速的末速度为初速度的匀减速直线运动，到B点速度减为零. 根据对称性，两段运动时间相同.

解析：可假设AB为2 x， A到O时间

t2=4xgsin2θ

.共用时2t.

当θ=45°时，t最小， 正确答案是（D）.

其实上面等时圆模型中应用1也可以用这种跟斜面有关的问题解法.得出倾角为45°所需时间最短.

三、等高的光滑斜面物体由顶点经不同路径下滑到底端时间的比较

例3 如图8所示，几个倾角不同的光滑斜面具有共同的高AM，当物体由静止沿不同的倾角从顶端滑到底端，下面哪些说法是正确的（ ）

（A） 倾角为30°时所需时间最短

（B） 倾角为45°所需时间最短

（C） 倾角为60°所需时间最短

（D） 所需时间均相等

解析：设AM高度为h，则

hsinθ=12gsinθt2， t2=

2hgsin2θ，可以看出，θ角越大，sinθ越大，t越小.正确答案是（C）.

应用3：如图9所示，将小球甲、乙、丙（都可视为质点）分别从A、B、C三点由静止同时释放，最后都到达竖直面内圆弧的最低点D，其中甲是从圆心A出发做自由落体运动，乙沿弦轨道从一端B到达另一端D，丙沿圆弧轨道从C点运动到D，且C点很靠近D点.如果忽略一切摩擦阻力，那么下列判断正确的是 （ ）

（A） 甲球最先到达D点，乙球最后到达D点

（B） 甲球最先到达D点，丙球最后到达D点

（C） 丙球最先到达D点，乙球最后到达D点

（D） 甲球最先到达D点，无法判断哪个球最后到达D点

解析：设圆的半径为R.则甲球做自由落体运动

t1=2Rg.

乙球据等时圆问题可知t2=4Rg.

丙球是单摆模型，

t3=14T=2π4Rg

，故t1

这样类似的问题还有很多，希望大家在以后的学习生活中注意观察和总结经验，把我们学过的知识用到实际生活中去.特别要注意物理模型的建立及思维方法的训练，让学生学会从变化多端的物理题型中准确把握物理本质，懂得物理的基本原理，学会独立思考和分析问题.