高考物理中万有引力与航天的题型研究

2013年12月嫦娥三号探测器成功登陆月球，它标志着我国已成为世界上第三个实现地外天体软着陆的国家，随着我国载人航天工程的快速发展，万有引力与航天的问题会再次成为高考的热点.本文就万有引力与航天器的问题作了整理，供同行探讨.

考点一天体质量和密度的计算

1.利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.

由于GMm1R2=mg，故天体质量M=gR21G，

故天体密度ρ=M1V=M1413πR3=3g14πGR .

2.通过卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T，轨道半径r.

（1）利用万有引力等于向心力：

GMm1r2=m4π21T2r，

得中心天体质量M=4π2r31GT2；

（2）若已知天体的半径R，则天体的密度

ρ=M1V=M1413πR3=3πr31GT2R3；

（3）对靠近天体表面运行的卫星，其轨道半径r约等于天体半径R，则天体密度ρ=3π1GT2.

例题1（2013年全国卷）“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟.已知引力常量G=6.67×10-11 N・m2/kg2，月球的半径为1.74×103 km.利用以上数据估算月球的质量约为

A.8.1×1010 kgB.7.4×1013 kg

C.5.4×1019 kgD.7.4×1022 kg

解析由GMm1（R+h）2=m（R+h）（2π1T）2，

解得月球的质量M=4π2（R+h）31GT2，

代入数据得M=7.4×1022 kg，

选项D正确.

考点二人造卫星的运行问题

1.解决天体（卫星）运动问题的基本思路：天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，

由GMm1r2=mv21r=mrω2=m（2π1T）2r=man，

可得v=GM1r，

ω=GM1r3，

T=4π2r31GM，

an=GM1r2，

从中可以看出当天体（卫星）的轨道半径变大时，它的线速度、角速度、向心加速度都是减小的，而周期是变大的.

2.极地卫星、近地卫星和同步卫星

极地卫星又叫做“极轨卫星”，运行时每圈都经过南北两级，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖.近地卫星是指在在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的卫星，其轨道半径可近似等于地球的半径，运行速度约为7.9 km/s.而同步卫星是指相对于地球静止于赤道上空的卫星，从地面上看，卫星保持不动，它的角速度和周期与地球相同，故称地球同步卫星.它的特点很多，高度、周期、线速度、角速度和向心加速度都是一定值，运行的轨道定在赤道的上空3.6×107 m.这三种卫星的轨道平面一定过地球的球心.

例题2（2013年广东）如图1，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是

A.甲的向心加速度比乙的小B.甲的运行周期比乙的小

C.甲的角速度比乙大D.甲的线速度比乙大

解析由万有引力提供向心力得

GMm1r2=ma，

解得a=GM1r2，

甲的向心加速度比乙的小，选项A正确.

由GMm1r2=mv21r，

解得v=GM1r，

甲的线速度比乙小，选项D错误.

由GMm1r2=mω2r，

解得ω=GM1r3，

甲的角速度比乙小.选项C错误.

由GMm1r2=mr4π21T2，

解得T=2πr21GM，

甲的运行周期比乙的大，选项B错误.

答案：A.

例题3（2012年北京）关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是

A.分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期

B.沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率

C.在赤道上空运行的两颗地球同步卫星.它们的 轨道半径有可能不同

D.沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合

解析所有的地球同步卫星都在同一个赤道轨道上运动，C错误；沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星它们的运行轨道面与赤道面的夹角可以不同，它们的轨道平面就不会重合，D错误；分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，可能具有相同的周期，A错误；沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道的关于长轴对称的两个位置的速率相等，所以在轨道不同位置可能具有相同的速率是正确的，选项B正确，答案：B.

考点三卫星变轨问题分析

卫星（航天器）在轨期间自主改变运行轨道的过程称为变轨，当卫星的速度突然增加时，卫星所受的万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的轨道，半径变大.当卫星进入新的轨道稳定运行时，其运行速度比原轨道小.反之，当卫星速度突然减小时，将做近心运动，半径变小，当进入新的轨道运行时，速度比原轨道大.

例题4（2011年全国）我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行（即绕地球一圈需要24小时）；然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球.如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比

A.卫星动能增大，引力势能减小

B.卫星动能增大，引力势能增大

C.卫星动能减小，引力势能减小

D.卫星动能减小，引力势能增大

解析依题意可将“嫦娥一号”视为圆周运动，且质量变化可忽略不计，则变轨后，轨道更高，由卫星运动规律可知高轨道速度小，故变轨后动能变小，排除A、B选项；卫星发射越高，需要更多能量，由能量守恒定律可知高轨道的卫星能量大，而高轨道动能反而小，因此高轨道势能一定大（当然也可直接通过离地球越远引力势能越大来判断），D对.

考点四宇宙速度的理解与计算

第一宇宙速度又称为环绕速度，是指在地球上发射的物体绕地球飞行作圆周运动所需的最小初始速度.已知地球半径为6400 km，地球质量为5.98×1024 kg，由GMm1r2=mv21r得v=GM1r，当r=R=6400 km时，v=7.9 km/s，也称为最大的环绕速度.第二宇宙速度是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，数值为11.2 km/s，第三宇宙速度是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，数值为16.7 km/s.

例题5、（2013全国卷） 2012年6曰18日，神州九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343km的近圆轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接.对接轨道所处的空间存在极其稀薄的空气，下面说法正确的是（ ）A.为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B.如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加C. 如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低D.航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用解析：为实现对接，两者运行速度都应小于第一宇宙速度，第一宇宙速度是最大的环绕速度，选项A错误.如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的机械能减小，天宫一号的轨道高度将缓慢降低，重力做功，动能可能会增加，选项BC正确.航天员在天宫一号中处于失重状态，但是航天员仍受地球引力作用，选项D错误.考点五 双星系统模型问题的分析与计算绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提供.两子星绕着连线上的一点做圆周运动，它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比.设双星的两子星的质量分别为M1和M2，相距L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得，以M1为研究对象可得： ，以M2为研究对象可得： 例题6、（2013山东卷）双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为（ ）A. T B. T C. T D. T 解析：设两恒星中一个恒星的质量为m，围绕其连线上的某一点做匀速圆周运动的半径为r，两星总质量为M，两星之间的距离为R，由G =mr ， G =（M-m）（R-r） ，联立解得：T=2π .经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为T'=2π = T，选项B正确.